準備の論文を眺める その4

Frobenioidから定義される圏

C→FΦをFrobenioidとした時、 
次のように関連する圏を定義することができる。

記号	category	仮定
Cistr	the full subcategory of isotropic objects		[FrbI]Prop1.9 これはFrobenioidになる
		Cがof Aut-ample typeかつof Frobenius-normalized, metrically trivial type	[FrbI]Prop2.5によりCistrはof base-trivial typeになり、その対象はFrobenius-trivialになる
Clin	linear morphismsからなるsubcategory
Cbs−iso	base-isomorphismsからなるsubcategory
Cpl−bk	pull-back morphismsからなるsubcategory		[FrbI]Def1.3よりCpl−bkAはDADと圏同値
		Cがof Aut-ample typeかつbase-trivial type	[FrbI]Prop1.11よりCpl−bk→Dはfull
		Cがof unit-trivial type	[FrbI]Prop1.11よりCpl−bk→Dはfaithfull
Ccoa−pre	co-angular pre-stepsからなるsubcategory		[FrbI]Def1.3よりACcoa−preとOrder(Φ(A))は圏同値
Cimtr−pre	isometric pre-stepsからなるsubcategory		[FrbI]Prop1.9
C(d)	zero divisorがd⋅Φ(−)に入るmorphismsからなるsubcategory		[FrbI]Def2.4
CFr−tp	morphisms of Frobenius typeからなるsubcategory
Cbi−Fr⊆CFr−tp×CFr−tp	morphisms of Frobenius type of same dgrees からなるsubcategory
Cpf	射をn乗根を取ることに対応して増やした圏	Cがof Frobenius-isotropic type	[FrbI]Def3.1
Cun−tr	射をunit-equivalence classとした圏		[FrbI]Def3.1
Cbirat	射をHombiratCとした圏		[FrbI]Prop4.4 Frobenioid of group-like typeになる
CFr−tr	Frobenius-trivial objectsを対象、isometric morphismsを射とした圏	Cがof isotropic type	[FrbI]Th5.1
Crlf		Φがperf-factorial	[FrbI]Prop5.3
P⊆Cpl−bk⊆C	base-section	Cがof isotropic type	[FrbI]Def2.7
F	Frobenius-section	FrbI]Def2.7の仮定を満たすPに対して	[FrbI]Def2.7

Frobenioidから定義される関手

Functor	操作	説明
C→Cistr	isotropification	[FrbI]Prop1.9 isotropic-hullを取る操作
Cistr→Cun−tr	unit-trivialization	[FrbI]Def3.1 unit-trivializationはCistrがof unit-triv typeの時、圏同値[FrbI]Prop3.3
C→Cpf	perfection	[FrbI]Prop3.2 Z≥0→Q≥0に対応
C→Crlf	realification	Z≥0→R≥0に対応
C→Cbirat	birationalization	[FrbI]Prop4.4 Z≥0→Zに対応

Frobenius写像に対応する関手

Functor	説明	仮定
Ψ:C→C	[FrbI]Prop2.1 native Frobenius functor
		Cがof perfect typeの時かつその時に限り、Ψは圏同値
Cistr→D∗→D	[FrbI]Prop2.2 natural projection functor
Ψ:C→C(d)	[FrbI]Prop2.5 unit-linear Frobenius functor	Cがof Aut-ample typeかつof Frobenius-normalized, metrically trivial type
C→C	unit-wise Frobenius functor	[FrbI]Cor2.6の仮定を満たす場合

Cから情報を復元する

• C→FΦが圏同値になるのはCがof Aut-ampleかつunit-trivial, base-trivial typeの時([FrbI]Prop3.3)
• Cのbase, Frobenius-degreeは圏同値に条件をつけて復元される([FrbI]Th3.4)
• Cがof isotropic unit-trivial group-like-typeの時、C→FΦおよびDは圏同値に条件をつけて復元される([FrbI]Prop3.11)
• Cがof standard かつisotropic typeで of group-like-typeではない時、divisor monoidとbase-categoryにさらに条件をつけて、primary stepは圏同値で保たれる([FrbI]Th4.2)
• Cがof rationally standard typeの時、divisor monoidは圏同値で保たれる([FrbI]Th4.9)
• ([FrbI]Cor4.11)
• ([FrbI]Cor4.12)

model-Frobenioid

• Cがof pre-model typeとは、(P,F):base-Frobenius pairが存在([FrbI]Def2.7)
• Cがof model typeとは、of pre-model typeかつof birationally Frobenius-normalized type([FrbI]Def4.5)
• Cがof rational typeとは、任意の対象がrational([FrbI]Def4.5)
• Cがof isotropic typeかつunit trivial typeならof model typeになる([FrbI]Th5.1)
• Cからmodel FrobenioidC−が構成できる([FrbI]Th5.2)
• Cがof model typeの時、C−と圏同値になる([FrbI]Th5.2)
• 具体的にFrobenioidを構成する方法として、model Frobenioidを与える方法がある

文献

• 論説 代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想
• Overview Panoramic Overview of Inter-universal Teichmuller Theory
• LocField A Version of the Grothendieck Conjecture for p-adic Local Fields
• AbsTopI Topics in Absolute Anabelian Geometry I
• AbsTopIITopics in Absolute Anabelian Geometry II
• AbsTopIII Topics in Absolute Anabelian Geometry III
• FrbI The Geometry of Frobenioids I
• FrbII The Geometry of Frobenioids II
• EtTh The Etale Theta Function and its Frobenioid-theoretic Manifestations
• pGC The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves
• IUTchI Inter-universal Teichmuller Theory I
• IUTchII Inter-universal Teichmuller Theory II
• IUTchIII Inter-universal Teichmuller Theory III
• Ogus Lectures on Logarithmic Algebraic Geometry

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