鎖国についてなど: 3月 2015

[圏]において、
- 位相空間

Tから開集合と包含関係からなる圏

Open(T) が構成できる
- 逆に圏

Open(T)から位相空間

Tが射の系の極小性により、点を回復することで復元できる
-

T=R2の時、

Squr(T)⊂Rect(T)⊂Para(T)⊂Open(T)と正方形、長方形、平行四辺形からなる部分圏が定義できる
ということが説明されている。
[Quasicon]においては、
- Riemann面

Xに2次微分が与えられると局所的に座標を導入することができるが、双曲的Riemann面の場合は、

Squr(X)⊂Rect(X)⊂Para(X)の圏同値は、(複素共役すなわちFrobenius作用素の作用を除いて)正則構造、擬正則構造の同値類に対応する
ということが説明されている。

局所化は、素朴には、距離の遠い物を無視して近傍の情報のみを抽出する、という操作になる。
[Quasicon]における局所化は、

上半平面の開集合に対応する局所化
- H-domain、すなわちH← X'→Xという図式の定義
- LocΠ(X)というH-domainによる対象と射の追加
- 射がmonomorphismであることとopen immersionであることの対応(lem1.6,lem1.7)
- 圏同値とRiemann面の同値との対応(Th1.12)
2次微分により定まる正方形、長方形、平行四辺形に対応する局所化
- (開)Riemann面Y⊂Y¯¯¯上の2次微分ϕに対して、noncritical locusYnonとその普遍被覆面Y−−non→Ynonを定義(Def2.1)
- ϕにより定まるnatural parameterにより正方形、長方形、平行四辺形を定義(Def2.1)
- LocPΠ(X,ϕ)というΠ-covering(complete object)に平行四辺形(parallelogram object)からなる対象と射の追加
- terminal objectの存在、complete, parallelogram objectの特徴付け(Prop2.2)
- 圏同値とRiemann面+2次微分の同値との対応(Th2.3)
  により行われる。

[Quasicon]の内容は、

として議論に用いられる。
一方で、[Quasicon]のTable1,Table2に出てくるp進体上の構成は、

2次微分の与えられたRiemann面においては、natural parameterにより、測地線と

C∗=S1∗R>0の作用が定まる。
特にStokes曲線による分割と曲線のなす角度を定めることが出来る。
これらのデータからFukaya圏が構成でき、period mapとstability都の間に関係が付く。

そこで自然な疑問が出てくる。

p進体上で、測地線に対応するものは何か?
p進微分方程式、2次微分の議論でWKB法、cluster代数に対応するものを構成できるか?すなわち、数論的基本群上にflip,popの作用が持ち上がるか?
p進Teichmuller空間の議論ではregulalized Frobenius作用素に対する不変性、整構造がmetric structureに対応していた。適切な同一視をすれば、そこから組み合わせ的な圏の構造を抽出できるか?
Berkovich空間の三角形分割は参考になるか?
On the structure of nonarchimedean analytic curves
The convergence Newton polygon of a p-adic differential equation II: Continuity and finiteness on Berkovich curves
対応してFukaya圏の類似物を構成できるか?
係数は体とは限らないかもしれない。
A2型の特異点の半普遍変形として楕円曲線のmoduliがでてくるが、楕円曲線の等分点を結ぶという意味での測地線をp進体上で適切に定義できるか?その際にordinalynessは必要な条件か?

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