2017 K(\pi, 1)

Faltings流のp-adic Hodge

• [Ols] Faltings’ method of almost ́etale extensions

[Ols]では、Faltings流のp-adic Hodgeについて、

• almost etale extention
• K($\pi$, 1)
• Faltings topos

を用いた説明をしている。
ここでのmain theoremはTh6.16。
elementary fibrationを用いてgeometric generic fiberがK($\pi$, 1) となるZariski neiborhoodが取れることはTh5.4で示されている。

比較同型

• [A] The Comparison Isomorphisms Ccris
• [AI] Comparison Isomorphisms for Smooth Formal Schemes

[A]では、Poincare dualityを使わない方法を説明している。
そのmotivationとして、3 The complex caseで複素数体上の比較同型定理について、普遍被覆空間を取って群のcohomologyの比較による方法を説明している。正則関数の層の代わりになるのがperiod sheavesとなる。
4 The p-adic caseで、Abbesによるperiod sheavesのFaltings siteでの振る舞いについての指摘があり、局所定数層のetale cohomologyとFaltings cohomologyでの比較はProp4.6に記載されている。
(perfectoidにおいては、pro-etale siteとして幾何学的に自然なsiteにより話が簡略化される)

K($\pi$, 1)

• [Achinger1] $K(π, 1)$-neighborhoods and comparison theorems
• [Achinger2] Wild ramification and K(pi, 1) spaces

[Achinger2]では、

• connected affine $F_{p}$-schemeはK($\pi$, 1)(Th1.1.1)

が示されている。
(tiltingによって、標数0と標数pを行き来するということは、topologicalな情報をすべて基本群に押し込める、ということになる。)

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2017 almost mathematics

妄想

• 絶対Galois群を押しつぶしたらブラックホールになるのか?
  
  • ブラックホールには毛がない。Galois群の毛は何か?商群が観察結果と思えるか?
  • ブラックホールの事象の地平線に相当するものは何か?
  • ブラックホールの内側を開部分群とみなすと、deeply ramified extentionに相当する部分群を事象の地平線と思えばよいか?
• そもそも幾何の距離に相当するものは何か?
  
  • p-adic HodgeがKahler性を仮定せずに成立するのはformal modelの存在([Bhatt2]p6)
  • admissible blow-upの逆操作がRicci-flowによるblow-downに対応すると思えるか?

• AdS/CFT対応のperfectoid版は存在するか?

  • Berkovich空間としての上半平面と離散AdS空間の類似

  rigid analytic geometry

• [Conrad1] Several approaches to non-archimedean geometry

[Conrad1] の解説によると、

• Tate algebraの定義(Def1.1.2,Def2.1.2)
• affinoid algebraの定義(Def1.2.1)
• Laurent domain,Weierstrass domain,rational domainの定義、universalityの性質(lem2,1,8)
• affinoid subdomainの定義(Def2.2.1)
• fiber productとしてのcompleted tensor product(Exercise2.2.3)
• Gerritzen-Grauert theorem(Th2.2.5)i.e. affinoid subdomainはrational domainのfinite union
• admissible open,adomissible coverの定義(Def2.2.6)
• Tate topologyの定義(Def2.3.1)
• Tate’s Acyclicity theorem(Th2.3.3)
• affinoid spaceの定義(Def2.3.5)i.e.affinoid algebraから定まる局所環付き空間
• rigid analytic spaceの定義(Def2.4.1)i.e.局所的にaffinoid spaceを貼り合わせて得られる局所環付き空間
• quasi-compact,quasi-separatedの概念の定義(Exercise2.4.8,Def3.1.6)
• properの定義(Def3.2.3)
• rigid spaceにおけるcoherent sheavesのcohomologyの性質(Th3.2.2)

almost mathematics

指数定理では、Fredholm作用素のように有限と無限の間の概念が有用だった。環論において、有限性と無限性をつなぐ概念として、almost mathematicsがある。(almost projective module of finite rankはFredholm作用素に近いように思える。)

• [Bhatt1] MATH 679: PERFECTOID SPACES
• [Scholze1] Perfectoid spaces

[Bhatt1]の解説によると、

• almost mathematicsは、$j:U \hookrightarrow X$,$i:Z=X-U\hookrightarrow X$に対するadjoint pairs $(i_{*},i^{!})$,$(i^{*},i_{*})$,$(j_{!},j^{*})$,$(j^{*},j_{*})$の構成に対応する(§5.1)
  
  • $i_{*}:Mod_{R}\rightarrow Mod_{R/I}$に対して、$Mod_{R}^{a}$を定義して、adjoint pairsを構成する(Prop5.2,Th6.1)
  • almost flat,almost projective,almost finitely generated,almost finitely presented,uniformly almost finitely generatedの概念が定義される(Def6.6)
  • almost finite etaleの概念が定義される(Def7.3)
  • weakly etaleの概念が定義される(Def7.11)
  • finitely presentedの場合はweakly etaleとetaleは同じだが、一般にはetale mapのinductive limitになる(Fact7.12,Fact8.4)
• almost mathematicsの設定で閉集合を除くことの類似として、Zariski-Nagataの純性定理の類似定理が存在し、almost purityと呼ばれる(§13.1)
  
  • generic fiberがfinite etaleならspecial fiberまで込めてalmost finite etaleという形の定理
  • 標数pの設定でのalmost purity theoremは、perfect ring上のalmost setupの場合に成立する(Prop7.6,Th8.1)
  • almost zeroを示すのによく使われる論法は$t^{n}f=0\Rightarrow t^{n}f^{p^{m}}=0\Rightarrow t^{n/p^{m}}f=0\Rightarrow$fはalmost zero(Claim7.7)
  • 標数0の設定でのalmost purity theoremは、perfectoid algebraの条件の場合に、tiltingを用いることにより標数pの場合に帰着できる(§13,Th13.2)
  • perfectoid algebraの定義(Def9.12,Def10.1)
  • Non-Archimedian Banach algebraの議論(Th9.7)
  • Witt vector(deformation)の議論を用いてperfectoid algebraはinteresting deformationを持たないことを示す(Th11.1,Th11.8,Prop12.3,Th12.6)
• perfectoid affinoid K-algebra$(R,R^{+})$の場合のalmost purity theorem(Th25.10)
  
  • adic spaceの場合のTate algebraはcoupe of definitionによって定まる(Def13.5)
  • bounded set,power bounded,uniformの定義(§14.1)
  • affinoid Tate ringの定義(Def14.10),対応するadic spectrumの定義,rational domainの定義(Def14.14)
  • Berkovich spaceと比較してrankが1より大きいvaluationも入るが、special fiber内に収まる(Prop15.10,Rem15.11)
  • spectral spaceの定義(Def16.4),非構成的な特徴づけ(Th16.5)
  • affinoid Tate ringに対応するadic spectrumの性質(Th16.9,Th17.1)
  • rational open subsetに対応するaffinoid Tate algebraの普遍性(Th17.5)
  • affinoid Tate ringのstructure presheafの定義、sheafyの定義(Def19.5)
  • adic spaceの定義(Def19.11)
  • perfectoid affinoid algebraの定義(Def19.12,Def20.1),tiltによる圏同値(Prop19.14)
  • $X=Spa(R,R^{+})\rightarrow X^{\flat}$のrational subsetsを保つhomeo(Th20.3)
  • perfectoid affinoid algebraに対応するSpaのTate acyclicity(Th23.1)
  • affinoid perfectoid space,perfectoid spaceの定義(Def25.2)
  • almost purity theoremの証明(Claim26.7)

p-adic Hodge

• [Bhatt2] The Hodge-Tate decomposition via perfectoid spaces
  
• [Scholze2] p-adic Hodge theory for rigid-analytic varieties

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2017 標数pの基礎事項

Cartier descent

• [Katz] Nilpotent connections and the monodromy theorems

[Katz]では、

• 標数0の体$k$上、$\Delta=Spec(k[[t]])$において、一対一対応がある(Prop8.9)
  
  • $(M,\nabla)$、可積分接続
  • $(M^{\nabla}\otimes_{k} \Delta,1\otimes d)$、horizontal elemetntsとidentical connection
  • これは、Taylor展開による無限小平行移動を書き換えたもの
• 標数pの体$k$上では、p冪の部分で相違が出てくる(Th5.1)
  
  • $(\cal{E},\nabla)$、p-curvatureが0の可積分接続
  • $\Delta^{(1)}=\Delta\otimes_{k,Frobenius}k$上のquasi-coherent sheaves
• p-curvatureはrestricted p-structureに関するobstruction
• p-curvatureはp-linear(Prop5.2)
• $\nabla(D),\nabla(D^p),\psi(D)$は$End(\cal{E})$の元として可換(5.2.1)
• $\psi(D),\psi(D')$は可換(5.2.2)

formal geometry

• [BD] QUANTIZATION OF HITCHIN’S INTEGRABLE SYSTEM AND HECKE EIGENSHEAVES

[BD]においては、以下の説明がある。

• Harish-Chandra pair$(\frak{g},\it{K})$に対するlocal quantization condition(1.2)
  
  • Poisson代数と$U\frak{g}$から定まる代数のgraded代数の同型
  • symbolのなす代数の同型と思える
  • differential operatorとしてのcompatibilityがglobal quantization condition(1.2.3(15))
• Harish-Chandra modulesの圏と左D加群の圏同値(1.2.4)
  
  • $\Delta:M(\frak{g},\it{K})\rightarrow M^{l}(\cal{Y})$
  • $\Gamma:M^{l}(\cal{Y})\rightarrow \Delta:M(\frak{g},\it{K})$
• (直線束による)twisted version(1.2.5)
• affine version(1.2.6,1.2.7)
• Beauville-Laszloの同型対応(Th2.3.4,Th2.3.5)
• $\cal{D}_{\it{X}}$-scheme(2.6)
  
  • $\cal{D}_{\it{X}}$-algebraに対して$\cal{O}_{\it{X}}$-algebraを対応させるfunctor(2.6.2)
  • algebraが可換な場合はhorizontal global sectionsのなす代数
• 可換な場合のadjoint functor$\cal{J}$(2.6.3)
  
  • $\infty$-jets of sectionsのなす代数
  • schemesの対応の場合、ind-schemeとして定義される
• formal coordinate systems(Example2.6.5)
• global Hitch fibrationの定義(2.2.3)
  
  • $p:T^{*}Bun_{G}\rightarrow\rm{Hitch}(\it{X})$
  • pはLagrangian fibrationでcomplete integrable systemをなす
  • $h_{X}^{cl}:\frak{z}^{cl}(\it{X}) \rightarrow \Gamma(Bun_{G},P)$
  • pの量子化が[BD]の目的
• local Hitchin fibrationの定義(2.4)
  
  • $\rm{Spec}(\frak{z}_{\rm{x}}^{cl}) \rightarrow \rm{Hitch_{x}}$ (2.4.1)
• $h^{cl}$の量子化に対応する$h$の定義(2.8.1)
• formal coordinate systemsを用いてcanonical connectionsを定義(2.8.2)

affine Springer fibers

• [Yun] Lectures on Springer theories and orbital integrals
  [Yun]では、affine Springer fubersとHitchin fibrationsの関係が述べられている。

• affine Grassmannianの定義(2.1.2)

• affine Grassmannian内のaffine Springer fibers$\cal{X_{\gamma}}$の定義(2.2.1)
• paraholic version、Iwahori subgroupに対するaffine Springer fiber$\cal_{Y_{\gamma}}$の定義(2.2.9)
• Springer’s W-actionのaffine版(Th2.6.2)
• affine Springer fiberのset theoretic version と軌道積分との関係(3.2.6,lem3.3.1)
• affine Springer fiberのglobal versionとしてのHitchin fibration(§4)
  
  • 曲線上のベクトル束のmoduli stack(4.1.2)
  • Higgs bundlesの定義とtwisted-Higgs bundlesのmodul stackの定義(4.1.7)
  • derived global sectionを見ることによりHitchin moduli stackとベクトル束のmoduli stackのcotangent bundleとのopen stacksの対応(4.1.10)
  • Hitchin fibrationの定義(4.2.1)
  • spectral curve, Hitchin fibersのPicard stackとしての解釈(4.3.1)
• Hitchin fibersとaffine Springer fibersをつなぐProduct formula(Th4.4.2)

crystalline differential operators,Lie代数の中心

• [BB] Localization of modules for a semisimple Lie algebra in prime characteristic

[BB]では、crystalline differential operatorsについて、以下のまとめがある。

• $X/k$(kは標数pの代数閉体)において、Frobenius写像$Fr_{X}:X\rightarrow X^{(1)}$が関数環のp乗写像として定まる。ただし、Frobenius twist $X^{(1)}$は、k-structureを修正することで定まる。(1.1.1)
• YをXのsubschemeとする時、Frobenius neighborhood $\underline{X}_{Y}=(Fr_{X})^{-1}Y^{(1)}$が定まる。(1.1.2)
• $\beta:V\rightarrow W$がp-linear mapであることと、対応する$V^{(1)}\rightarrow W$がlinear mapであることは同値。(1.1.3)
• Xがsmoothの時、$D_{X}=U_{O_{X}}(T_{X})$をthe sheaf of crystalline differential operatorsと呼ぶ(1.1.4) 基底を取って記述することが出来る。
• $\mathbb{D}_{X}\subset End_{k}(O_{X})$に対して$D_{X}$からの写像はあるがinjectiveではない。
• $D_{X}$には、Poincare-Birkhoff-Witt filtration$D_{X,\leq n}$が入り、$gr(D_{X})=O_{T^{*}X}$、$D_{X,p-1}\subset End(O_{X})$となる。(lem1.2.1)
• (p-linearに付随するlinear mapとしてみた)p-curvature map $\iota:T_{X}^{(1)}\rightarrow D_{X}$の像は$Z(D_{X})$に含まれ、$\frak{Z}_\it{X}:=O_{T^{*}X^{(1)}/X^{(1)}}$と$Z(D_{X})$の同型に延長される。(lem1.3.2)
• $Y\subset T^{*}X$に対して、$D_{X}$の$Y^{(1)}$へのcentral restriction、$D_{X,Y}=D_{X}\otimes_{\frak{Z}_{\it{X}}}O_{Y^{(1)}/X^{(1)}}$を定義する。(1.4)
• Yとして、zero-sectionをとった$D_{X,0}$は$\iota \partial = 0$で定まり、$D_{X}$の$\mathbb D_{X}$への像に一致する。(1.4.2)
• $A_{X}:=Z_{D_{X}}(O_{X})$は$O_{X} \cdot \frak{Z}_{\it X}$に一致する。(lem2,1,1)
• cotangent vectorに対するcentral reductionが定まり、matrix algebraとなる。(lem2.2.1)
• $D_{X}$は$T^{*}X^{(1)}$上のAzumaya algebra(Th2.2.3)
• $D_{X}$は$X^{(1)}$上で$Fr_{X*}O_{X}$をsplitting bundleとしてsplitする。(2.2.5)

operと量子化

• [BK] Fedosov quantization in positive characteristic
• [BCTZ] Quantization of Hitchin integrable system via positive characteristic
• [CFT] Fedosov connections on jet bundles and deformation quantization

Virasoro代数は無限次元で、共形場理論が無限自由度を持つことの基礎となっていた。
標数pでVirasoro代数の代替物を見ようとすると、modulo Frobeniusで有限自由度となる。

Higgs bundle

• 実解析的な対応
• 標数pで実解析的に対応するのは、Frobenius写像

標数pでのNon abelian Hodge theory

• [CZ] Non-abelian Hodge theory for algebraic curves in characteristic p
• [LSZ] Nonabelian Hodge theory in positive characterstic via exponential twisting
• [OV] Nonabelian Hodge Theory in Characteristic p
• [Xu] Lifting the Cartier transform of Ogus-Vologodsky modulo $p^n$

p進でのSimpson対応

• [LZ] Rigidity and a Riemann-Hilbert correspondence for p-adic local systems

• $(B_e,B_{dR})$のBeauville-Laszlo型の解釈

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2017 指数定理

疑問

• 指数定理
  
  • Thom同型
  • 管状近傍
  • deformation to the normal cone
• virtual fundamental class
  
  • intrinsic normal cone
  • perfect obstruction theory
  • cotangent complex
• 標数pでの量子化
• Kahler-Einstein計量
  
  • GIT
  • K-安定性
  • Kahler-Ricci flow
• 標数pでの分岐指数とblow-upの操作をRicci-flowの観点で解釈できるか?

指数定理

• [足立] Atiyah-Singer 指数定理 ノート
• [本間] 局所指数定理

virtual fundamental class

• [BF] The intrinsic normal cone
• [Shen] Construction of the Virtual Fundamental Class and Applications
  
• [Wise] Obstruction theories and virtual fundamental classes

標数pでの量子化

• [BK] Fedosov quantization in positive characteristic

Kahler-Ricci flow

• [T] KAWA lecture notes on the Kähler-Ricci flow

Higgs-de Rham flow

• [LSY] An inverse Cartier transform via exponential in positive characteristic
• [LSYZ] Uniformization of $p$-adic curves via Higgs-de Rham flows
  

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2017 stable envelope

モース理論

• [Gi1] Geometric Methods in Representation Theory of Hecke Algebras and Quantum Groups
• [Gi2] Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties
• [Nak1] More lectures on Hilbert schemes of points on surfaces

deformation

• [CG] [Representation Theory and Complex Geometry]
• [M] Quantum Cohomology and Symplectic Resolutions

モース理論の量子化をFloer理論あるいはGromov-Witten理論と思うこととすると、Springer resolutionやNakajima varietyの量子cohomologyがどうなるか気になる。
この場合には、かなりの部分を統一的視点で捉えることが出来る。

• stable mapのmoduli spaceを定義できる(§2.2)
• virtual fundamental classが定義できて、smooth proper familyに対するdeformation invariantsになる(§2.3)
• equivariant symplectic resolutionの場合には、symplectic formに対するスカラー倍の対称性を付加して考える(§3.1)
• 例としてSpringer resolutionの場合がある(Th3.4)
  
  • [CG] Th3.4.1,Claim7.3.6における変形の話をGW不変量のdeformation invariantsの話に置き換えた
  • Steinberg correspondenceにgenus 0のstable mapが集中する
• equivariant cohomology(§4.2)
  
  • Atiyah-Bott localization(Th4.3)
• stable envelope(§4.3)
  
  • $S^{1}$-actionによるMorse theory、Bialynicki-Birula decompositionに対応する分割を用いる
  • torus$A$の$X$への作用において、$X^{A}$の各連結成分に対してpartial orderを入れることが出来る(Def4.5)
  • Lagrangian correspondenceを定義できる(Th4.6)
  • Stab(γ) is good for translating geometric operators on $X$ to geometric operators on $X^{A}$(Prop4.11)

Yangian

• [N] [場の理論における Yangian 対称性]

Yangianについて[N]では、

• 量子群はR-matrixを持つnon-commutativeなHopf代数
• Yangian　Y(g)はU(g)を部分Hopf代数に持つ最小の量子群
• Yangianの有限次元既約表現はDrinfeld多項式の組と対応する

という記述がある。

Quiver varietyと代数

• [MO] Quantum Groups and Quantum Cohomology
• [Nak2] Lectures on perverse sheaves on instanton moduli spaces
• [O1] Enumerative geometry and geometric representation theory
• [O2] Lectures on K-theoretic computations in enumerative geometry

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2017 局所Fourier変換

気になる動き

• [AFO] Quantum q-Langlands Correspondence
• [Fu1] l-adic realization of some aspect of Landau-Ginzburg B-models
• [KS] Airy structures and symplectic geometry of topological recursion

[AFO]では、頂点関数をquasi-mapの数え上げで定義し、(q,t)の2変数変形共形ブロックを定義している。
[KS]では、変形量子化の観点から、topological recursionを見直していて、Giventalの量子化とtopological rucursionの関係の説明を与えようとしている。
数体の絶対Galois群は、dessin d’enfantを通じて、Riemann面の分割、KZ方程式と関係づくが、より深いところで、上記の量子化と関係があるはず。
そのため、l進層およびp進層に対して、数え上げ、topological recursionとの関係、があるか、が問題になる。
が、現状、数え上げるべき対象が明確でないため、Frobenius多様体とモノドロミー保存変形の関係をl進層の言葉に移そうとしているのが[Fu1]で、GKZ幾何関数のモノドロミーをl進層上に定義し、LG模型を構築しようとしている。

局所Fourier変換の大まかな流れ

• [Sabbah1] FOURIER TRANSFORMATION AND STOKES STRUCTURES

• D加群とl進層に対して直線上Fourier変換が定義できる

  • l進層の場合はFourier-Deligne変換
  • D加群の場合はFourier-Laprace変換、確定特異点のみの場合は、変換後は、 0で確定特異点を持ち、無限遠点で不確定特異点を持ちうる。
  • D加群のR-emann-Hilbert対応では確定特異点型と偏屈層が対応し、偏屈層側ではspecializationとmicrolocalizationを入れ替えるFourier-Sato変換がある。複素多様体ではnearby-cycle,vanishing-cycleが対応する。
• 局所Fourier変換
  
  • l進層の場合は、vanishing-cycleを用いて直接的に局所Fourier変換が定義できる
  • D加群の場合は局所的に擬微分作用素、formal miclolocalizationを定義して、局所Fourier変換を定義できる(2.2)
  • Levelt-Turritin(Th3)
  • stationary phase formula(Th4)
• purity
  
  • l進層とくにl進偏屈層においてFourier変換はpurityと重みを保つ(3.1.Th1)
  • Griffith-Schmidの定理から、通常のHodge構造の変形ではD加群のFourier変換を捉えきれない(3.2.Th2)
  • D加群の場合は、twistor構造を見ることでpurityを捉えることが出来る(3.3.th6)
  • V-filtration、moderate nearby and vanishing cycleの定義(4.1.b)
  • 局所Fourier変換とmoderate nearby cycleとの関係(4.3.a,4.3.b.Prop1,Cor3,Cor4)
• 1次元の場合のRiemann-Hilbert対応
  
  • regular holonomic D加群と偏屈層の対応
  • Fourier変換をRH対応で捉えるためには、Stokes-perverse sheafの概念が必要
  • germs of meromorphic coonectionsと円周上のStokes-filtered local systemsの間の圏同値が存在する(6.1.Th2)
  • holonomic D加群とStokes-perverse sheavesの圏同値が存在する(6.4.Th13)
• 高次元の場合
  
  • 高次元の場合には、projective morphismによりgood structureへの持ち上げを行うことが最初に必要になる
  • real blow-up、holomorphic functions with moderate growthの定義(7.2)
  • moderate de Rham complexとそのコホモロジー(7.2. Th4)
  • RH対応(7.3.c.Th8)
• topological Laplace変換(8.2.a)

素朴な計算

• [Fang] Calculation of local Fourier transforms for formal connections
• [Fu2] Calculation of l-adic local Fourier transformations

まずは、exponential factorを具体的に記述することを、
Legendre変換を用いて行っている。
[Fang]では、D加群の場合にTh1で対応を与えている。
[Fu2]では、標数pの体上、l進層の場合に、Th0.1で対応を与えている。

Stokes filtration

• [HS] The local Laplace transform of an elementary irregular meromorphic connection
• [Sabbah2] An explicit stationary phase formula for the local formal Fourier-Laplace transform

上記、素朴な計算に関わる部分を、blow-upを用いて幾何的に説明しているのが[Sabbah2]。

• refined Turritin-Levelt(Cor3.3)
• ramificationの挙動(Prop3.8)
• elementaryの場合(Th5.1)
  
  • Katz extensionによる代数化
  • singular supportの計算
  • $e:(v,\eta)\rightarrow (v\eta,\eta)$によるblow-up(Figure1)
  • 個別の計算(lem5.5)

さらに、形式的な部分から、Stokes構造込みの対応を記述しているのが、[HS]。

• $\cal{F}^{(0, \infty)}M$に対応する円周$S^{1}_{\tau=0}$上の局所系を$\hat{\cal{L}}$。そのKatz extensionを$\hat{\cal{F}}$(3.2)
• $\hat{\cal{F}}$の表示(3.2.2)、stalkの表示(Prop3.2.3)
• divisor$D_{0},D_{\infty},D_{\hat{\infty}}$(3.3)
• projective modificationによるgood structure(Prop3.3.4)
• 高次cohomologyの消失(Th3.3.5)
• 具体的な表示(Cor3.3.6)
• Stokes filtrationの定義(Def3.3.7,3.3.8)
• 局所Fourier変換に対するStokes filtered local systemの対応(Th3.3.11)
• elementary meromorphic connectionの場合
  
  • ramification、exponential factorの対応(3.5.1)
  • blow-up(3.5.4)
  • 具体的な表示 ベクトル空間、同型、fitrationの記述(Cor4.2.1, Th4.3.3)
• standard filtration(6.1)
  
  • topological model(Def6.2.4)
  • Th1.3.6, Prop1.4.13

Ramification filtration

• [AS] Local Fourier transform and epsilon factors

疑問

• [AS]におけるramificationの議論と、real blow-upの議論を対応させること
• p進層の場合に、twistor構造に対応するにはFargues-Fontaine曲線を用いたGalois群の作用が必要になるはず。p進層の局所Fourier変換をtopologicalに理解すること

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2017 rigid local system

rigid local system

• [DR] On the middle convolution of local systems
• [DS] Hodge theory of the middle convolution
• [Katz] Travaux de Laumon
• [Y] Rigidity in automorphic representations and local systems

cohomologically rigid $\Rightarrow$ phisically rigid

D-moduleの場合

• [BE] Local Fourier transforms and rigidity for D-modules

• Fourier変換は素朴には、$\exp(-tt')$を核とする$Spec(k[t])\times Spec(k[t'])$上の$Rp_{2*}p_{1}^{*}$の処理であるから、(2.1)の形で書け、さらにGauss-Manin connectionの形でde Rham複体の言葉で書き直せる(lem3.2)

• good lattice pairを用いて局所的にFourier変換$\cal{F}(0,\infty),\cal{F}(\infty,0),\cal{F}(\infty,\infty)$を定義できる(Prop-Def3.5,Def3.8,Def3.11)
• 局所Fourier変換$\cal{F}(0,\infty),\cal{F}(\infty,0)$を用いて圏同値が記述できる(Prop3.10)
• irregularityについての公式(Prop3.14)
• index of rididityの定義(Def4.2)
• rigidity=2の場合をcohomologically rigidとする
• Fourier変換でindex of rigidityは不変(Th4.3)
• rigid(phisically rigid)の定義(Def4.8)
• index of rigidity$\ge$2ならrigid(Th4.7)特に、cohomologically rigidならphysically rigid
• physically rigidならcohomologically rigid(Th4.10)
  
  • Th4.10の証明は、変形関手の表現可能性とsmoothnessを示して、普遍変形がlifting元の引き戻しであることを示す
  • 変形関手の表現可能性はSchlessinger’s Criterion　
  • 普遍変形はalgebraizable

$l$進層の場合

• [Fu1] Deformation of $\ell$-adic sheaves with Undeformed Local Monodromy
• [Fu2] Deformations and Rigidity of $\ell$-adic Sheaves

[Fu1]では、Schlessinger’s Criterionを用いて、
局所モノドロミーを保存する変形に対して、
pro-representabilityが示されている。(Th0.1)

Schlessinger’s Criterionとは、
https://ncatlab.org/nlab/show/deformation+functorにあるように、

• H1: 貼り合わせ可能(lem1.3)
• H2: infinitesimalには貼り合わせはunique(lem1.4.(b))
• H3: 接空間は有限(lem1.9)
• H4: small thickeningでの自身の貼り合わせはunique(lem1.4(a))

という条件。

[Fu2]では、[BE]の議論をl進層に移すために、rigid analytic spaceでの議論を行っている。

Q:

• p進層で局所Fourier変換を定義して、rigidityの議論ができるか?
• l進とp進の対応を保型表現を介してつける、という観点からは、rigid automorphic representatationはl進、p進と(arithmetic)Langlands対応により対応するはず。一方で、[Y]でのLanglandsは幾何学的Langlands対応を用いている。この間の関係は?
• Galois表現の変形関手を(何らかの条件の付加が必要?)示して、cohomologically rididの性質を同様に示せるか?
• lisse l進層のmoduliのnon algebraizabilityとPainleve性を結びつけることが出来るか?

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2017 p-adic Hodge

Hodge-Tate

• [Feng] Hodge-Tate Theory
• [Olsson] Faltings’ method of almost ́etale extensions

[Feng]では、

• p進局所体$K$の代数閉包の完備化$C_{K}$のGalois cohomology(Th2.1)
• $G=Gal(\overline{K}/K)$を$\Gamma_{K}=Gal(K_{\infty}/K)$と$H_{K}=Gal(\overline{K}/K_{\infty})$に分けて各々計算 $H_{K}$(Th2.3,Th2.10) $\Gamma_{K}$(Th2.15)
• $C_{K}(i)$の$Ext^{1}$の計算(Cor2.19)
• Tate-module$T_{p}$,$V_{p}$,$W_{p}$の定義(Def3.1,3.2)
• $\Omega=\Omega^{1}_{\overline{\cal{O}_{K}}/\cal{O}_{K}}$に対して、$W_{p}(\Omega)=C_{p}(1)$(Th3.3, Cor3.13,Cor3.14)

の記述がある。
$C_{p}(1)$という算術的対象が、$\Omega^{1}_{\overline{\cal{O}_{K}}/\cal{O}_{K}}$という幾何的対象で解釈される。そのためには、良い$\mathbb{Z}_{p}$拡大により分岐を消していくことが必要だった。

p-adic Hodge(Beilinson)

• [Illusie] Around the Poincar ́e lemma, after Beilinson
  
• [SZ] The p-adic Hodge decomposition according to Beilinson

Hodge理論において代数幾何の範囲に収まらないのは、Poincare lemmaで、
これが関手性を持って示されれば、比較同型定理はRiemann-Rochの定理同様、Gysin同型とChern類の議論を用いて簡単な場合に帰着される。

Beilinsonの比較同型定理の証明の手法は、
derived de Rham complexを用いて周期環を定義し、
p-adic Poincare lemmaをh-topologyの下で示すものだった。

[SZ]には、

• 準備
  
  • cotangent complexのtransitivity triangle(Th2.13)
  • first order thickening(Prop2.18)
  • derived de Rham complex(Def2.22)
  • Hodge-completed derived de-Rham complex|algebra(Def2.23)
  • universal first order thickening(Th2.29)
  • universal p-adically complete first order thickening(Prop3.10)
  • the derived p-adic complection(Cor3.31)

• 定義

  • $A_{inf}:=W((\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/(p)))^{perf}$
  • universal p-adically complete thickening of order k(Prop3.14)
  • derived p-adic complectionを用いた周期環の定義 $A_{\mathrm{dR,\it{K}}} := L\hat{\Omega}^{\centerdot}_{\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/\cal{O}_{\it{K}}}$ (§4.1)
  • $L\hat{\Omega}^{\centerdot}_{\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/\cal{O}_{\it{K}}}\hat{\otimes}\mathbb{Z}_{p}:=R\underleftarrow{\lim}(L\hat{\Omega}^{\centerdot}_{\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/\cal{O}_{\it{K}}})\otimes^{L}\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}$(Cor3.30)
  • universal p-adically complete PD thickening of order k(Th4.9)
  • the Fontaine element$t\in Fil^{1}B^{+}_{dR}$(Const 4.11, Def4.12)

• geometric side

  • h-topologyの定義(Def5.4)
  • torsion etale sheafとh-sheafの関係(Cor5.7)
  • category$\cal{P_{k}}$の定義と$\cal{A}_{\mathrm{dR}}$、$\hat{\cal{A}_{\mathrm{dR}}}$の定義(Def5.11)
  • filtered quasi-isomの構成(Th5.13), Hodge-complete version(Th5.14)
• arithmetic side
  
  • $\cal{A}^{\sharp}_{\mathrm{dR}}$の定義
  • $\cal{A}^{\sharp}_{\mathrm{dR}}\otimes\mathbb{Q}\simeq \hat{\cal{A}_{\mathrm{dR}}}$(Prop5.16)
• Beilinson’s p-adic Poincare lemma(Th5.17)
  
  • p-divisibility(lem6.14)
• 比較同型写像の構成(Construction5.19)

の記述がある。

p-adic Hodge(perfectoid)

• [Bhatt] THE HODGE-TATE DECOMPOSITION VIA PERFECTOID SPACES

[Bhatt]には、

• $\nu:X_{proet} \rightarrow X_{et}$
• local version Hodge-Tate filtration(Th3.3)
• deformation invariance of the category of formally etale algebra(Th3.11)
• $X_{proet}$のbasis for the topologyとしてaffinoid perfectoidが取れる(Th3.21)
• $R^{i}\nu_{*}\hat{\cal{O}_\mathrm{X}}$の計算(lem3.25)
• 1-dim torusの場合に帰着(§3.5)

の記述がある。

Riemann-Hilbert

• [LZ] Rigidity and a Riemann-Hilbert correspondence for p-adic local systems

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2017 Symplectic resolution

• [G] Symplectic algebraic geometry and quiver varieties
• [K] Geometry and topology of symplectic resolutions
• [M] Quantum Cohomology and Symplectic Resolutions
  
• [N1] Lectures on perverse sheaves on instanton moduli spaces
• [N2] Introduction to a provisional mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ gauge theories

変形量子化

[G]では、

• 変形関手の定義、可換環の量子化の定義(Def1.3)、1パラメータ量子化の定義(Def1.4)

• Poisson代数の定義(Def1.5)、量子化とPoisson構造の変形の関係(Th1.10)の説明

• 正則な場合の量子化とPoisson構造の変形の関係(Th2.2)

• semi-positive varieryの定義(Def3.2)
• semi-positive varietyの性質(§3.2)
• Symplectic resolutionの定義(Def4.1)、running hypottheses
• universal Poisson deformationの存在とcohomologyのpurity(Th4.2)
• 量子化の存在(Th4.3)、代数性(Th4.4)

を説明している。
Th4.2の証明には、 標数pにおけるtilting generatorの存在(Th4.8)、Beilinson typeのdiagonal resolutionが使用されている。

標数pでの量子化

[K]では、tilting generatorの存在を標数pの議論によって示している。

• Beauvilleの意味でのSymplectic singularityの定義(Def1.1)
• Symplectic resolutionの定義(Def1.2)
• Symplectic resolutionがきつい条件である予想(Conj1.3)
• Poisson varietyのquantization(Def2.2)
• Symplectic resolutionの場合のcanonical quantizationの存在(Th2.3)
• localにはDarboux型の定理がある(Prop2.4)
• Poisson algebraとquantized algebra(Def2.6)
• quantized algebraでh-完備かつno h-torsion、と、quantizationの同値(hによる補間)
• smooth symplectic varietyのquantizationとsymplectic corrdinate torsorsの同型類が対応する(Prop2.8)
• Frobenius-constant quantization(Def3.1)
• 標数pではProp2.4は成り立たない。原因はhigher de Rham cohomologyが消えないため(Rem3.4)
• restricted quantized algebra、restricted Poisson algebra(h=0)(Def3.7)
• restricted Poisson structureを持つための条件(Prop3.10)
• good quantization base(Def3.11)
• good quantization base$B$が与えられた時、cohomologyが消えるという条件のもと、smooth symplectic varietyのB-quantizationの同型類が記述できる(Th3.16)
• 標数0の体上のSymplectic resolutionはetale localにtilting generatorを持つ(Th4.2)

3次元 N=4 ゲージ理論

[N2]では、Symplectic resolutionの場合に、
Higgs枝、Coulomb枝について、数学的な定義を与えている。
量子化されたCoulomb枝は、formal diskへのトーラス作用を用いて同変Borel-Moore homology群上に定義される。

疑問

数論において、古典的な保型形式のHecke環は、moduli空間におけるconvolution積によって定まる可換環だった。Taylor-WilesのR=Tの議論は、convolution積によって定まる環が、Galois表現の普遍変形環と同型である、というものだった。
Galois表現の変形とCoulomb枝に自然な解釈をつけることが出来るだろうか?

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