2017 局所Fourier変換

気になる動き

• [AFO] Quantum q-Langlands Correspondence
• [Fu1] l-adic realization of some aspect of Landau-Ginzburg B-models
• [KS] Airy structures and symplectic geometry of topological recursion

[AFO]では、頂点関数をquasi-mapの数え上げで定義し、(q,t)の2変数変形共形ブロックを定義している。
[KS]では、変形量子化の観点から、topological recursionを見直していて、Giventalの量子化とtopological rucursionの関係の説明を与えようとしている。
数体の絶対Galois群は、dessin d’enfantを通じて、Riemann面の分割、KZ方程式と関係づくが、より深いところで、上記の量子化と関係があるはず。
そのため、l進層およびp進層に対して、数え上げ、topological recursionとの関係、があるか、が問題になる。
が、現状、数え上げるべき対象が明確でないため、Frobenius多様体とモノドロミー保存変形の関係をl進層の言葉に移そうとしているのが[Fu1]で、GKZ幾何関数のモノドロミーをl進層上に定義し、LG模型を構築しようとしている。

局所Fourier変換の大まかな流れ

• [Sabbah1] FOURIER TRANSFORMATION AND STOKES STRUCTURES

• D加群とl進層に対して直線上Fourier変換が定義できる

  • l進層の場合はFourier-Deligne変換
  • D加群の場合はFourier-Laprace変換、確定特異点のみの場合は、変換後は、 0で確定特異点を持ち、無限遠点で不確定特異点を持ちうる。
  • D加群のR-emann-Hilbert対応では確定特異点型と偏屈層が対応し、偏屈層側ではspecializationとmicrolocalizationを入れ替えるFourier-Sato変換がある。複素多様体ではnearby-cycle,vanishing-cycleが対応する。
• 局所Fourier変換
  
  • l進層の場合は、vanishing-cycleを用いて直接的に局所Fourier変換が定義できる
  • D加群の場合は局所的に擬微分作用素、formal miclolocalizationを定義して、局所Fourier変換を定義できる(2.2)
  • Levelt-Turritin(Th3)
  • stationary phase formula(Th4)
• purity
  
  • l進層とくにl進偏屈層においてFourier変換はpurityと重みを保つ(3.1.Th1)
  • Griffith-Schmidの定理から、通常のHodge構造の変形ではD加群のFourier変換を捉えきれない(3.2.Th2)
  • D加群の場合は、twistor構造を見ることでpurityを捉えることが出来る(3.3.th6)
  • V-filtration、moderate nearby and vanishing cycleの定義(4.1.b)
  • 局所Fourier変換とmoderate nearby cycleとの関係(4.3.a,4.3.b.Prop1,Cor3,Cor4)
• 1次元の場合のRiemann-Hilbert対応
  
  • regular holonomic D加群と偏屈層の対応
  • Fourier変換をRH対応で捉えるためには、Stokes-perverse sheafの概念が必要
  • germs of meromorphic coonectionsと円周上のStokes-filtered local systemsの間の圏同値が存在する(6.1.Th2)
  • holonomic D加群とStokes-perverse sheavesの圏同値が存在する(6.4.Th13)
• 高次元の場合
  
  • 高次元の場合には、projective morphismによりgood structureへの持ち上げを行うことが最初に必要になる
  • real blow-up、holomorphic functions with moderate growthの定義(7.2)
  • moderate de Rham complexとそのコホモロジー(7.2. Th4)
  • RH対応(7.3.c.Th8)
• topological Laplace変換(8.2.a)

素朴な計算

• [Fang] Calculation of local Fourier transforms for formal connections
• [Fu2] Calculation of l-adic local Fourier transformations

まずは、exponential factorを具体的に記述することを、
Legendre変換を用いて行っている。
[Fang]では、D加群の場合にTh1で対応を与えている。
[Fu2]では、標数pの体上、l進層の場合に、Th0.1で対応を与えている。

Stokes filtration

• [HS] The local Laplace transform of an elementary irregular meromorphic connection
• [Sabbah2] An explicit stationary phase formula for the local formal Fourier-Laplace transform

上記、素朴な計算に関わる部分を、blow-upを用いて幾何的に説明しているのが[Sabbah2]。

• refined Turritin-Levelt(Cor3.3)
• ramificationの挙動(Prop3.8)
• elementaryの場合(Th5.1)
  
  • Katz extensionによる代数化
  • singular supportの計算
  • $e:(v,\eta)\rightarrow (v\eta,\eta)$によるblow-up(Figure1)
  • 個別の計算(lem5.5)

さらに、形式的な部分から、Stokes構造込みの対応を記述しているのが、[HS]。

• $\cal{F}^{(0, \infty)}M$に対応する円周$S^{1}_{\tau=0}$上の局所系を$\hat{\cal{L}}$。そのKatz extensionを$\hat{\cal{F}}$(3.2)
• $\hat{\cal{F}}$の表示(3.2.2)、stalkの表示(Prop3.2.3)
• divisor$D_{0},D_{\infty},D_{\hat{\infty}}$(3.3)
• projective modificationによるgood structure(Prop3.3.4)
• 高次cohomologyの消失(Th3.3.5)
• 具体的な表示(Cor3.3.6)
• Stokes filtrationの定義(Def3.3.7,3.3.8)
• 局所Fourier変換に対するStokes filtered local systemの対応(Th3.3.11)
• elementary meromorphic connectionの場合
  
  • ramification、exponential factorの対応(3.5.1)
  • blow-up(3.5.4)
  • 具体的な表示 ベクトル空間、同型、fitrationの記述(Cor4.2.1, Th4.3.3)
• standard filtration(6.1)
  
  • topological model(Def6.2.4)
  • Th1.3.6, Prop1.4.13

Ramification filtration

• [AS] Local Fourier transform and epsilon factors

疑問

• [AS]におけるramificationの議論と、real blow-upの議論を対応させること
• p進層の場合に、twistor構造に対応するにはFargues-Fontaine曲線を用いたGalois群の作用が必要になるはず。p進層の局所Fourier変換をtopologicalに理解すること

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2017 rigid local system

rigid local system

• [DR] On the middle convolution of local systems
• [DS] Hodge theory of the middle convolution
• [Katz] Travaux de Laumon
• [Y] Rigidity in automorphic representations and local systems

cohomologically rigid $\Rightarrow$ phisically rigid

D-moduleの場合

• [BE] Local Fourier transforms and rigidity for D-modules

• Fourier変換は素朴には、$\exp(-tt')$を核とする$Spec(k[t])\times Spec(k[t'])$上の$Rp_{2*}p_{1}^{*}$の処理であるから、(2.1)の形で書け、さらにGauss-Manin connectionの形でde Rham複体の言葉で書き直せる(lem3.2)

• good lattice pairを用いて局所的にFourier変換$\cal{F}(0,\infty),\cal{F}(\infty,0),\cal{F}(\infty,\infty)$を定義できる(Prop-Def3.5,Def3.8,Def3.11)
• 局所Fourier変換$\cal{F}(0,\infty),\cal{F}(\infty,0)$を用いて圏同値が記述できる(Prop3.10)
• irregularityについての公式(Prop3.14)
• index of rididityの定義(Def4.2)
• rigidity=2の場合をcohomologically rigidとする
• Fourier変換でindex of rigidityは不変(Th4.3)
• rigid(phisically rigid)の定義(Def4.8)
• index of rigidity$\ge$2ならrigid(Th4.7)特に、cohomologically rigidならphysically rigid
• physically rigidならcohomologically rigid(Th4.10)
  
  • Th4.10の証明は、変形関手の表現可能性とsmoothnessを示して、普遍変形がlifting元の引き戻しであることを示す
  • 変形関手の表現可能性はSchlessinger’s Criterion　
  • 普遍変形はalgebraizable

$l$進層の場合

• [Fu1] Deformation of $\ell$-adic sheaves with Undeformed Local Monodromy
• [Fu2] Deformations and Rigidity of $\ell$-adic Sheaves

[Fu1]では、Schlessinger’s Criterionを用いて、
局所モノドロミーを保存する変形に対して、
pro-representabilityが示されている。(Th0.1)

Schlessinger’s Criterionとは、
https://ncatlab.org/nlab/show/deformation+functorにあるように、

• H1: 貼り合わせ可能(lem1.3)
• H2: infinitesimalには貼り合わせはunique(lem1.4.(b))
• H3: 接空間は有限(lem1.9)
• H4: small thickeningでの自身の貼り合わせはunique(lem1.4(a))

という条件。

[Fu2]では、[BE]の議論をl進層に移すために、rigid analytic spaceでの議論を行っている。

Q:

• p進層で局所Fourier変換を定義して、rigidityの議論ができるか?
• l進とp進の対応を保型表現を介してつける、という観点からは、rigid automorphic representatationはl進、p進と(arithmetic)Langlands対応により対応するはず。一方で、[Y]でのLanglandsは幾何学的Langlands対応を用いている。この間の関係は?
• Galois表現の変形関手を(何らかの条件の付加が必要?)示して、cohomologically rididの性質を同様に示せるか?
• lisse l進層のmoduliのnon algebraizabilityとPainleve性を結びつけることが出来るか?

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