2017 stable envelope

モース理論

• [Gi1] Geometric Methods in Representation Theory of Hecke Algebras and Quantum Groups
• [Gi2] Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties
• [Nak1] More lectures on Hilbert schemes of points on surfaces

deformation

• [CG] [Representation Theory and Complex Geometry]
• [M] Quantum Cohomology and Symplectic Resolutions

モース理論の量子化をFloer理論あるいはGromov-Witten理論と思うこととすると、Springer resolutionやNakajima varietyの量子cohomologyがどうなるか気になる。
この場合には、かなりの部分を統一的視点で捉えることが出来る。

• stable mapのmoduli spaceを定義できる(§2.2)
• virtual fundamental classが定義できて、smooth proper familyに対するdeformation invariantsになる(§2.3)
• equivariant symplectic resolutionの場合には、symplectic formに対するスカラー倍の対称性を付加して考える(§3.1)
• 例としてSpringer resolutionの場合がある(Th3.4)
  
  • [CG] Th3.4.1,Claim7.3.6における変形の話をGW不変量のdeformation invariantsの話に置き換えた
  • Steinberg correspondenceにgenus 0のstable mapが集中する
• equivariant cohomology(§4.2)
  
  • Atiyah-Bott localization(Th4.3)
• stable envelope(§4.3)
  
  • $S^{1}$-actionによるMorse theory、Bialynicki-Birula decompositionに対応する分割を用いる
  • torus$A$の$X$への作用において、$X^{A}$の各連結成分に対してpartial orderを入れることが出来る(Def4.5)
  • Lagrangian correspondenceを定義できる(Th4.6)
  • Stab(γ) is good for translating geometric operators on $X$ to geometric operators on $X^{A}$(Prop4.11)

Yangian

• [N] [場の理論における Yangian 対称性]

Yangianについて[N]では、

• 量子群はR-matrixを持つnon-commutativeなHopf代数
• Yangian　Y(g)はU(g)を部分Hopf代数に持つ最小の量子群
• Yangianの有限次元既約表現はDrinfeld多項式の組と対応する

という記述がある。

Quiver varietyと代数

• [MO] Quantum Groups and Quantum Cohomology
• [Nak2] Lectures on perverse sheaves on instanton moduli spaces
• [O1] Enumerative geometry and geometric representation theory
• [O2] Lectures on K-theoretic computations in enumerative geometry

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