2018 Euler-Poincare

文献

• [Katz] Gauss Sums, Kloosterman Sums, and Monodromy Groups
• [Laumon1] Transformation de Fourier, constantes d’équations fonctionnelles et conjecture de Weil
• [Laumon2] Semi-continuité du conducteur de Swan (d’après P. Deligne)
• [Laumon3] Caractéristique d’Euler-Poincaré des faisceaux constructibles sur une surface

Grothendieck-Ogg-Shafarevich

• [Katz]では、8.5 Numerology of Fourier TransformでNaive Fourier transform(NFT)のrankについて記述している
  
  • affine直線のEuler-Poincare formula(8.5.2)
  • NFTがsmoothになる点の無限遠点でのSwan conductorによる評価(8.5.3)
  • slope(=break?)が>1,=1,<1の場合にArtin-Schreier層とのtensor積のslopeの評価、Swan conductorのslopeによる表示式(8.5.4, 8.5.5)
  • largest smooth open subsetのslopeによる表示式(8.5.6)
  • 特にslopeが>1, !=1,>=1の場合の0でのsmoothness(8.5.8)

• [Laumon1]では、[Katz]の式を用いて公式を導出している

  • NFTのrank公式(Prop2.3.1.1)
  • 特別な場合の公式(Cor2.3.1.3)
  • local Fourier Transformの定義(Def2.4.2.3)
  • local Fourier Transformのrank公式(Th2.4.3)

  lower semi-continuity

  [Laumon2]では、henselian trait上のrelative curveの場合に、Swan conductorのlower semi-continuityを証明している

• Swan character, Swan representation, Swan conductor
  
  • Swan conductorの計算例(Example1.1.7)
  • GOS formula(1.2)
  • general fiberとspecial fiberのEuler数の差をvanishing cycleで表す式(1.3.4.7)
• total dimensionのlower semi-continuity(Delgine, Th2.1.1)
  
  • constructibityをconductorの計算に帰着(3.9の具体的な計算)
  • base change(Th4.1.2 isolated singularityがある場合)によりstrict local henserianに帰着
  • properの場合のTh5.1.1に帰着
• Th5.1.1の証明の準備(6 deformation)
  
  • Prop6.1.1
  • 無限遠$F^{\sim}$での分岐を消す拡大を探す
  • base$S$を超越次元1の拡大によりbase changeすることで、lem6.3.4.1の前の図にあるように水平をずらす。これにより$x$上でetaleという性質を満たすように変形できる。
• Th5.1.1の証明
  
  • (7.1.1)を(7.1.2)の場合に帰着
  • $\Delta\chi$をvanishing cycleで表し、$\pi^{-1}(x)$上と$F^{\sim}_{s}$上の計算に帰着させ、後者はProp6.1.1の性質から打ち消し合う(7.3.1)
  • (7.3.1)から(7.2.1)により(7.1.2)が導出される

Lefschetz pencil

[Laumon3]では、surface上のnon feroceな場合のEuler-Poincare formulaをLefschetz pencilを用いて証明している。

• Euler Poincare formula(Th1.2.1)
  
  • sheafのEuler数をsmoothな開空間、分岐している空間と分岐の程度の情報で記述するGOSの拡張
  • feroce, non-feroceの例としてExample2.2.1でArtin-Schreier拡大の場合を取り扱っている。これはFourier変換の場合にでてくるもので、feroceの場合は分岐理論が整備されないと記述できない。ここではnon-feroceのみ対象。
• $Sw_{x}(F,f)$の定義(Def2.3.5)
• Lefschetz pencilによりsurface上のEuler数を射影直線上のEuler数に帰着させ、GOS公式を用いる(3.1.4, 3.1., 3.1.107)
• $(X,f,F)$がlocal acyclicityを満たさない点の集合(Figure3.2.4)
  
  • singular points in the fiber(この寄与は$F$がsmoothより消える)
  • $Y^{0}$を通る点(Th3.2.3よりnearby-cycleが消えることから寄与しない)
  • $Y-Y^{0}$を通る点(寄与が残る)
  • $Y_{j}^{0}$に接する点(射影空間へdegreeを高めて埋め込むことにより寄与が消えることが示される (4.4.2),4.5)
• 2.3.6の証明
  
  • 一つの項だけを変化させるpencil(4.6)

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