binary treeに対応するcantor setの対応

[1]Dirichlet forms and associated heat kernels on the Cantor set induced by random walks on trees
(http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/tree0.pdf)
[2]An introduction to Berkovich analytic spaces andnon-archimedean potential theory on curves
(http://math.arizona.edu/~swc/aws/07/BakerNotesMarch21.pdf)
について、関連することを記述する。
図を参照するために、
[3]Modular Index Invariants of Mumford Curves
(http://arxiv.org/abs/0905.3157)
も引用する。

[1]で記述されているCantor setをMartin boundaryにもつtree、
は、Mumford curveにおけるtreeとして解釈される。
K:p-adic field
P1:project line
Γ:g個の元γ_i(i=1,.,g)で生成されるShottky group
Γ+:γ_i(i=1,.,g)で生成されるモノイド
P1において、{0,1,∞}を固定する。
(reference pointΦを指定することに対応)

Λ_Γ:Γの極限集合⊆P1(K)
Λ_Γ+:Γ+の極限集合⊆P1(O_K)
ただし、γ_iは双曲元として、∞とP1(O_K)の元を固定点に持つようにとる。

[1]におけるΣがΛ_Γ+に対応するもので、
ΦのΓ+による軌道を結んで得られるtreeが[1]におけるTとなる。

Ω_Γ=P1-Λ_Γ,
X=Ω_Γ/Γ:Mumford curve coresponding to Γ
はP1のmetric d(x,y)からinduceされるmetric d(x,y)を持つ。
ri = d(Φ, γ_i(Φ))とすると、
これはspecial fibreの逆像がB(0,1)にどのように入るかを示す量であり、
0< ri <1となる。

例として[1]8.3-8.8におけるself-similar binary treeをとる。
[3]Figure7.におけるtreeのうち、a,bが正の方向を向いているものを取り出したものが、
対応する。
0< ri <1(i=1,2)より、[1]Th8.7の仮定は満たされている。
C(x,y)はMumford curveのmetricの逆を取ることに対応する。

* Dirichlet form
P1において、Berkovich空間として、
Laplacianが定義され、それに基づいて、Dirichlet formが定義できる。
(ただし、[2]におけるCPAもしくはBVDと関数空間はかなり狭く設定しておく。)
Laplacianは方向微分に対応しているから、d(x,y)=c(x,y)^(-1)と解釈して、
Tが正の方向のみを取り出していることに注意すると、
[1]p.3 Ε_w(f,f)の式が対応する。
また[1]におけるresistance metric R*はBerkovich空間としてのmetric dに対応し、
g_*(x,y)は、
[2](1.6.5) fundamental potential kernel relative to zに(第2,3項の補正がつくが)
対応する。
ここで、後者が3項からなるのは、P1におけるrational functionのdegreeが0でなければならないため、
Δ(f) = δ_y - δ_zと湧き出しと吸い込みを定式化に必要としているためである。
(Mumford curveXにおいては、automorphic functionがテータ関数を用いて具体的に構成できるために、直接g(y) = g_*(x,y)を構成できる、と思う)

* [1]におけるmeasure νの構成について
Λ_Γ+の位相の開基が、
Tの辺eに対してV(e)={eを通って極限に行く点}
により定まるため、積分は[3](7.33)と同様にして定義される。

乗法モノイド

* Witt環
個人的にWitt環について解りやすい説明は、
ChaiのCartier-Dieudonne theoryのnoteで、
その中では、
universal Witt vectorsのなすgroupはGmのformal completionにおけるformal curves全体、
という視点で説明がされている。
w(1-aT)+w(1-bT)=w((1-aT)(1-bT))
w(1-aT)*w(1-bT)=w(1-a*bT)
を満たすような環構造を求めると、(少々複雑な)積の定義式が出てきて、
p-partをみると、よく知られたWitt環の定義式となる。

* adele class group
QのBost-Connes systemは、Q/Zをmonoid Nで割る、という形で導出される。
adeleの言葉に直すと、adele環を(Q-{0})*unitで割る、という形になる。
idele群を割ればclass groupが出てくるが、adele環を割っているので、
幾何的にはnon-Hausdorfな状況となる。
嫌な点は0であって、これが特異点となっている。

* 乗法モノイド
Characteristic one, entropy and the absolute point
(http://arxiv.org/abs/0911.3537)
では、乗法モノイドを用いて、Mo-schemeを定義している。
また一元体上のWitt環をmax plus代数を用いて定義している。

* tropical幾何
tropical幾何を一元体上のWitt環の上の幾何、とみなすことにより、
有限グラフの幾何をspecial fibreとして、
tropical curveを一元体上のgeneric fibreと解釈できるはず。
ここで、Crystalline的な話ができると面白い。
また、cantor集合を一元体上の幾何に埋め込んで解釈できれば面白い。

振り返りその3

来年に向けて行って行きたい作業

* 志村曲線
Mumford曲線の具体例として、志村曲線がある。
志村曲線の利点は、
- 離散群が具体的にわかる
- ヘッケ環の作用がある
- 極限集合がわかりやすい
- 粗moduli空間としての解釈がある

そこで、
1. Consani-MarcolliのSpectral triplesとして、志村曲線を適用して具体例を見てみる
2. special fiberの双対グラフ構造からBakerの手法で定まるラプラシアンと、Berkovich解析空間としての志村曲線に対して、カントール集合で用いられた手法が適用可能かどうか見てみる
3. Bost-Connes系のGL(2)の場合の拡張として、志村曲線の場合のBost-Connes系の計算を見てみる
という方向で進めて行きたい。

志村曲線の上に、ランダムウォークとラプラシアンが定まり、それがヘッケ環の固有値と関係してくれると非常に嬉しい。
また、志村曲線の上のQFTが、その上のランダムウォークを用いて定式化できるようであれば、
なお嬉しい。

* Berkovich空間
- Berkovich空間は、標語的には、
stable objectにはnorm
semi-stable objectにはsemi-norm
が付加され、semi-normsの同値類の中にはmultiplicativeなものが入る。
そのため、空間を捉えるには、
bounded multiplicative semi-normsの全体を持ってくればよい、
というものだった。
完全不連結な空間から局所弧状連結なハウスドルフ空間を作る、
という点で、
スキームだけではなく、
カントール集合やそのほかのフラクタル集合に対して、
それをdenseに含む空間を構成できないだろうか？

- Berkovich空間における積分
GL(2)におけるp進上半平面では、ポアソン積分とヒルベルト変換の類似があり、
Morita dualityやBreil dualityによる超関数の記述が可能だった。
ところが、Berkovich空間における積分は、ちょっと厄介である。
原因の一つは、semi-normの値域が超越的な元を含みえて、次元が不連続に変動する。
この辺りの現象をBerkovichの本によって理解してみたい。

* p進微分方程式
CFTででてくる微分方程式や、イジング模型の等モノドロミー変形
などをp進で考えたい。
そのために、p進での微分方程式を理解する必要がある。
とくに、モノドロミーについて感覚をつかみたい。

振り返りその2

理解が足りていない部分

* 共形場理論
- GawedzkiのLectures on Conformal Field Theoryの内容を理解できていない
-- Feynman-Kacの公式に定式化
-- 摂動
- Renormalization Group flow
-- とくにtoy modelとしてConnes-Krimerの方法が適用できる部分があるかどうか

* SLE
- 離散リーマン面
- 有限要素法によるラプラシアンの固有値の計算方法と誤差評価
- CLE

* C*環
- Cuntz環、AF環の具体例

* 非可換幾何
- K群、特性類の概念把握
- local index formura

* Berkovich空間
- not goodなanalytic spaceの例

振り返り

今年勉強した内容を振り返る。

項目としては、以下の通り。

* 共形場理論
- bc系
- ボゾン-フェルミオン対応
- KNTYによるリーマン面上のフェルミオン場の幾何学的構成
- Virasoro代数の表現とミニマル模型

* 可積分系
- 佐藤グラスマン多様体
- Kricheverマップ
- KP階層
- Mumfordによる超楕円曲線のヤコビアン多様体の構成
- 戸田模型とGriffithsによる代数幾何的取り扱い
- Eynard-Orintin

- DubrovinのFrobenius構造
- Riemann-Hilbert対応
- 特殊な場合のSchlessinger方程式におけるテータ関数を用いた具体的な解の表示

* SLE
- Friedrichの総説
- 普遍タイヒミュラー空間から佐藤グラスマン多様体への写像
- univalent関数とWitt代数の関係

* Bost-Connes系
- Qの場合にアデールクラス群としてのBost-Connes系の理解
- Qの場合のKMS-state

* グラフ
- グラフから定義されるCuntz-Krieger環とそのK群
- グラフの伊原ゼータ関数の定義

* Berkovich空間
- bounded multipricative semi-normによる空間の構成
- 有理整数環Zに対するBerkovich空間
- 射影直線およびp進上半平面の木構造によるreduction
- Bakerによるmetrized graphにおけるラプラシアンの定義
- Mumford curveにおけるSpectral tripleの構成
- カントール集合と木の対応

* p進
- Witt環のfunctorとしての定義とCartier duality
- p進周期環 B_dR
- Tate curveの周期

eigencurve

Berkovichの「Spectral theory and Analytic geometry over non-Archimedian fields」
には、p-adicな世界でのFredholm theoryと作用素のperturbation
についての記述があった。

http://math.berkeley.edu/~coleman/eigen/coleman-mazur.pdf
にFredholm作用素とそのスペクトル曲線を利用して、
Galois表現とその変形をGL2上に実現している。
ここでスペクトル曲線に対応するリーマン面もどきは、
種数無限大で連結成分の個数も大きなものがでてくるようだ。

もともと、
フックス群に関する重み2の保型形式はリーマン面の変形と関係していたから、
保型形式の族に対応してrigid analytic空間の変形が関係しそうなものだが、
この辺りはきちんと定式化されているのだろうか？

繰りこみ群とガロア群

2点を一つの辺で結んだグラフCを考える。
Cをdual graphとするspecial fiberをもつMumford curveを考え、その定義体をkとする。
kはすべての1の冪根を含むとしておく。
kの分岐拡大とCのsubdivisionが対応するので、
Cを区間と見てその上の反射ランダムウォークに関する繰りこみ群と、
kの素元に関する冪をとったアーベル拡大とが対応する、と思える。

同様に考えると、
genusがgのグラフCに対して、それをdual graphとするspecial fiberをもつsemistable curve
に関して、
定義体kの分岐拡大とC上のランダムウォークに関する繰りこみ群を関係付けることができないだろうか？

また、
Mumford curveXについてXのn-infinitesimal value-point X(O_k/m^n)
をとって、対応するfinite graphの列C_nを考えると、
これは有限グラフの拡大列となっている。
XのKodaira-Spencer mapを代数的に見ると、Eichlerの記述からΓに関する群コホモロジー
と対応がつくと思われるが、
逆に有限グラフについて、変形理論ができるような有限グラフの拡大はどのようなものになるだろうか？
有限グラフの圏については、Consani-MarcolliのSpectral triples from Mumford curveにおけるdirected graphの定式化が見やすい。
この圏において、グラフの変形を特徴付けることができるだろうか？

さらに、
special fiberにおける退化という枠組みを、Connes-Krimer代数の観点でみると、
上記のグラフ上のランダムウォークとrough pathを関係付けることができないだろうか？

Period mappings and differential equations. From $\bf C$ to $\bf C_p$
http://arxiv.org/abs/math/0203194
template fundamental groupという概念が参考になるだろうか？
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Tempered fundamental group and metric graph of a Mumford curve
http://arxiv.org/abs/0811.3169
単に有限グラフというだけではなくて、その上のmetricの情報込みで、
数論的に定義される基本群の情報から回復できる、ということが書いてあった。

Grotherdieckのdessins d'enfants は数体上定義された代数曲線が、
その数論的基本群から回復できる、というものであり、
そこでは、2部グラフが利用されていた。
ex. http://math.arizona.edu/~swc/aws/05/05Notes.html

また、
Universal periods of hyperelliptic curves and their applications
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1002-9.pdf
をみると、Tate-curve上などで、p進解析的テータ関数を用いて、タウ関数を記述しているので、
共形場理論における共形次元1/2の場合の相関関数の記述ができると期待したくなる。
すなわち、
Geometric realization of conformal field theory on Riemann surfaces
http://www.springerlink.com/content/p143873t3734u772/
における、Ward恒等式がp進解析的にも意味を持つのではないか？と勘繰りたくなる。

そして、
1. dessins d'enfantsにより定まる2部グラフの列
2. 1の2部グラフから定まるisoradial-graphの収束先によって指定される共形場理論
3. 1のdessins d'enfantsの元となる数体上の曲線をp進で考えてのMumford curve(totally degenerateが必要だが)
4. 3のMumford curveから定まる有限グラフの列上のランダムウォーク
が互いに関連しあっている、
と想定される。(どう関連するのか記述できないので数学になっていないが。)

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