箱玉系その3

ベーテ仮説と組合せ論1.3の例で見てみると、確かに等速直線運動をしている。

python soliton_config.py
path [ 20 ]: [1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1]
type: 20
4 *** 0
6 ** 5
6 ** 4
12 * 7

path [ 21 ]: [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2]
type: 21
5 *** 3
7 ** 7
7 ** 6
13 * 8

path [ 23 ]: [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2]
type: 23
7 *** 6
9 ** 9
9 ** 8
15 * 9

path [ 25 ]: [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2]
type: 25
9 *** 9
11 ** 11
11 ** 10
17 * 10

path [ 28 ]: [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2]
type: 28
12 *** 12
14 ** 13
14 ** 12
20 * 11

path [ 31 ]: [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2]
type: 31
15 *** 15
17 ** 15
17 ** 14
23 * 12

path [ 34 ]: [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2]
type: 34
18 *** 18
20 ** 17
20 ** 16
26 * 13

path [ 37 ]: [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2]
type: 37
21 *** 21
23 ** 19
23 ** 18
29 * 14

#!/usr/bin/python

class YoungDiagram:
    def __init__(self):
        self.shape = []
    def depth(self):
        return len(self.shape)
    def total(self):
        return sum(self.shape)
    def transpose_shape(self):
        list = []
        for i in range(self.shape[0]):
            list.append(len(filter(lambda x: x>i, self.shape)))
        return list
    def first(self):
        if len(self.shape) == 0:
            return 0
        return self.shape[0]
    def m(self,j):
        return len(filter(lambda x: x == j, self.shape))
    def q(self, j):
        if len(self.shape) == 0:
            return 0
        s = 0
        for k in range(self.shape[0]+1):
            s += min(j, k)*self.m(k)
        return s
    def __str__(self):
        for i in self.shape:
            print "\t","*"*i
        return ""

# n=1 type(1^L) only
class Configuration:
    def __init__(self):
        self.type = 0
        self.u1 = YoungDiagram()
        self.update_vacancy()
        self.rigging = []
    def p(self, j):
        return self.type - 2 * self.u1.q(j)
    def update_vacancy(self):
        self.vacancy = []
        list = []
        for j in range(self.u1.first()+1):
            list.append(self.p(j))
        for j in self.u1.shape:
            self.vacancy.append(list[j])
    def sort_rigging(self):
        i = 0
        while i < len(self.u1.shape):
            l = len(filter(lambda x: x == self.u1.shape[i], self.u1.shape))
            self.rigging[i:i+l] = sorted(self.rigging[i:i+l], reverse=True)
            i += l
    def singular_test(self):
        list = []
        for i in range(len(self.vacancy)):
            list.append(self.vacancy[i] == self.rigging[i])
        return list
    def add_1(self):
        self.type += 1
        self.update_vacancy()
    def add_2(self):
        list = self.singular_test()
        try:
            i = list.index(True) # index of a singular string
            self.type += 1
            self.u1.shape[i] += 1 # extend the singular string
            m = map(lambda x: x < self.u1.shape[i] , self.u1.shape)
            try:
                j = m.index(True)
                if j < i:
                    self.u1.shape[i],self.u1.shape[j] =self.u1.shape[j],self.u1.shape[i]
                    self.rigging[i],self.rigging[j] = self.rigging[j],self.rigging[i]
                    i = j
            except ValueError:
                0 #nothing to do
            self.update_vacancy()
            self.rigging[i] = self.vacancy[i]
        except ValueError: # no singular string, add 1-string
            self.type += 1
            self.u1.shape.append(1)
            self.update_vacancy()
            try:
                i = self.u1.shape.index(1)
                self.rigging.insert(i, self.vacancy[-1])
            except ValueError:
                self.rigging.append(self.vacancy[-1])
        self.sort_rigging()
    def add(self, list):
        c = 0
        self.path = list
        for v in list:
            if v == 1:
                self.add_1()
            else:
                self.add_2()
            c+= 1
    def __str__(self):
        print "path [", len(self.path),"]:",self.path
        print "type:",self.type
        for i in range(len(self.vacancy)):
            print "\t",self.vacancy[i], "*"*self.u1.shape[i], self.rigging[i]
        return ""
def move(l, ball):
    while True: 
        try:
            n = l.index(ball)
            l[n] = 'done'
            m = l[n+1:]
            try:
                n2 = m.index(1)
                m[n2] = 'new'
            except ValueError:
                m.append('new')
            l[n+1:] = m
        except ValueError:
            break
    for i in range(len(l)):
        if l[i] == 'new':
            l[i] = ball
        elif l[i] == 'done':
            l[i] = 1        

##test
l=[1,1,1,2,2,2,1,1,1,1,2,1,2,2,1,1,1,2,2,1]

for i in range(8):
    c = Configuration()
    c.add(l)
    print c
    move(l, 2)

箱玉系その2

ベーテ仮説と組合せ論 例5.5(p107)のパスとrigged configuration
の対応をチェックするためのpythonスクリプト

前回のスクリプトと合わせると、
ソリトン->rigged configuration
による時間発展の線形化が確認できるはず。(後日に記載予定)

python soliton_config.py
path [1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2]
type: 8
0 ** 0
2 * 0
2 * 0

path [1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2]
type: 8
0 ** 0
2 * 1
2 * 0

path [1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2]
type: 8
0 ** 0
2 * 2
2 * 0

path [1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2]
type: 8
0 ** 0
2 * 1
2 * 1

path [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2]
type: 8
0 ** 0
2 * 2
2 * 1

path [1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2]
type: 8
0 ** 0
2 * 2
2 * 2

#!/usr/bin/python

class YoungDiagram:
    def __init__(self):
        self.shape = []
    def __init__(self, shape):
        self.shape = shape
    def depth(self):
        return len(self.shape)
    def total(self):
        return sum(self.shape)
    def transpose_shape(self):
        list = []
        for i in range(self.shape[0]):
            list.append(len(filter(lambda x: x>i, self.shape)))
        return list
    def first(self):
        if len(self.shape) == 0:
            return 0
        return self.shape[0]
    def m(self,j):
        return len(filter(lambda x: x == j, self.shape))
    def q(self, j):
        if len(self.shape) == 0:
            return 0
        s = 0
        for k in range(self.shape[0]+1):
            s += min(j, k)*self.m(k)
        return s
    def __str__(self):
        for i in self.shape:
            print "\t","*"*i
        return ""

# n=1 type(1^L) only
class Configuration:
    def __init__(self, type, shape):
        self.type = type
        self.u1 = YoungDiagram(shape)
        self.update_vacancy()
        self.rigging = []
    def p(self, j):
        return self.type - 2 * self.u1.q(j)
    def update_vacancy(self):
        self.vacancy = []
        list = []
        for j in range(self.u1.first()+1):
            list.append(self.p(j))
        for j in self.u1.shape:
            self.vacancy.append(list[j])
    def singular_test(self):
        list = []
        for i in range(len(self.vacancy)):
            list.append(self.vacancy[i] == self.rigging[i])
        return list
    def add_1(self):
        self.type += 1
        self.update_vacancy()
    def add_2(self):
        list = self.singular_test()
        try:
            i = list.index(True) # index of a singular string
            self.type += 1
            self.u1.shape[i] += 1 # extend the singular string
            self.update_vacancy()
            self.rigging[i] = self.vacancy[i]
        except ValueError: # no singular string, add 1-string
            self.type += 1
            self.u1.shape.append(1)
            self.update_vacancy()
            try:
                i = self.u1.shape.index(1)
                self.rigging.insert(i, self.vacancy[-1])
            except ValueError:
                self.rigging.append(self.vacancy[-1])
    def add(self, list):
        self.path = list
        for v in list:
            if v == 1:
                self.add_1()
            else:
                self.add_2()
    def __str__(self):
        print "path", self.path
        print "type:",self.type
        for i in range(len(self.vacancy)):
            print "\t",self.vacancy[i], "*"*self.u1.shape[i], self.rigging[i]
        return ""
##test
c = Configuration(0, [])
c.add([1,2,1,2,1,1,2,2])
print c
c = Configuration(0, [])
c.add([1,2,1,1,2,1,2,2])
print c
c = Configuration(0, [])
c.add([1,2,1,1,2,2,1,2])
print c
c = Configuration(0, [])
c.add([1,1,2,1,2,1,2,2])
print c
c = Configuration(0, [])
c.add([1,1,2,1,2,2,1,2])
print c
c = Configuration(0, [])
c.add([1,1,2,2,1,2,1,2])
print c

箱玉系

n色の箱玉系の動作確認のためのpythonスクリプト

結果は、ベーテ仮説と組合わせ論p134の例になる
python soliton.py
[2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2]
[1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2]

2色の例7.4については、
[1, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 2]
[1, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 3, 2, 2]

#!/usr/bin/python

def move(l, ball):
    while True: 
        try:
            n = l.index(ball)
            l[n] = 'done'
            m = l[n+1:]
            try:
                n2 = m.index(1)
                m[n2] = 'new'
            except ValueError:
                m.append('new')
            l[n+1:] = m
        except ValueError:
            break
    for i in range(len(l)):
        if l[i] == 'new':
            l[i] = ball
        elif l[i] == 'done':
            l[i] = 1  
#p134
l = [2,2,2,1,1,1,1,2]
print l
for i in range(5):
    move(l, 2)
    print l
#p137 例7.4
l = [1,3,2,2,1,1,3,2]
print l
for i in range(3):
    move(l, 3)
    move(l, 2)
    print l

トーリック多様体

* トーリック多様体上の直線束の計量
Arithmetic geometry of toric varieties. Metrics, measures and heights
(http://arxiv.org/abs/1105.5584)
に、トーリック多様体上の直線束の計量と、
Legendre変換の話がまとまっている。
とくに有限素点の場合も書かれている。

* トーリック多様体の特異点解消
トーリックの世界
(http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~fujino/TW-HP.pdf)
に特異点解消のコンパクトな説明があった。

* 疑問点
- トーリック多様体上のトーラス作用同変なリーマン計量から定まるブラウン運動
、あるいはラプラシアン、を扇の言葉で書くこと。
- 特異点を持つ場合にブラウン運動が定義できるか？
その場合、同変ブローアップ上のブラウン運動との違いはなにか？

- LDPの話をトーリック多様体上で展開できるか？
まずは、random gaussian analytic function
が定義できることをみなくてはならない。
Random zeros on complex manifolds: conditional expectations
(http://arxiv.org/abs/1005.4166)
次に、ケーラー計量、Bergman核について知っていないといけない。
BERGMAN METRICS AND GEODESICS IN THE SPACE OF KA ̈HLER METRICS ON TORIC VARIETIES
(http://mathnt.mat.jhu.edu/zelditch/Preprints/geotoricrevMar1.pdf)

Witt環とBC系

* On the arithmetic of the BC-system
(http://arxiv.org/abs/1103.4672)
では、
BC系の話を、Witt環とからめている。

KMS条件は、C*環でのformulationでは、
実時間での条件になるが、(境界値を与えた正則関数の話)
p進整数環での条件として定式化し直している。

* 連続極限
イジング模型にせよ、ランダムウォークにせよ、
連続極限を取るときは、実素点での距離に関する連続極限を取っている。

KMS条件にでてくるのは、実軸が時間で、虚軸が温度であったが、
それをp進素点に関する距離で考える、というのは、
時間、空間、温度、のどれに関しての話と見なせばいいのだろうか？

Lubin-Tate空間

* Lubin-Tate空間
The Geometry of Lubin-Tate spaces (Weinstein)
(http://www.math.ias.edu/~jaredw/FRGLecture.pdf)
にLubin-Tate空間について簡潔にまとめられていた。
p-divisible groupとDieudonne加群とは、完全体の上では、
圏同値になるが、
とくに、1次元形式群に着目する。
special fiberを固定して、
Witt環上への持ち上げに対する変形のmoduliは、
高さをhとするとき、h-1次元の開球になる。
level構造を込みにして、quasi-isogenyで同一したmoduliは、
開球のetale coveringになる。

B_{cris}^{+}の一部分は、height1の形式群則を固定して、記述することができる。

では、p-divisible groupの次元を上げて、
B_{cris}^{+}の別の部分を記述できないか？
となるが、
これは、
http://www.math.u-psud.fr/~fargues/Courbe.pdf
に記述されている、一般化リーマン球面
の話になる。
(Proposition 7.17., Teoreme 12.7.)

有限空間

* 有限空間
FINITE TOPOLOGICAL SPACES
(http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/FiniteSpaces.pdf)
および
Finite spaceやそれに類する空間
(http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/finite_space.html)
では、有限個の点からなる集合に、必ずしもHaussdorfとは限らない位相を入れて、議論をしている。
そこでの観点は、partially orderと対応をつけること、
だった。
ここで気になってくるのは、finite space上の確率測度の集合、
およびその上の大偏差原理、である。
開基についてレート関数の性質をみることになる。
(ex. Dembo-Zeitouni Th4.1.11)
離散位相では、単純に個数次元の実ベクトル空間内の和が1の超平面についての話、
密着位相では、レート関数は恒等的に0
となる。

FINITE GROUPS AND FINITE SPACES
(http://www.math.uchicago.edu/~may/MISC/finitegroups.pdf)
では、有限群について、その部分群全体の集合に包含関係で部分順序を入れて、
群の代数的な性質を、対応する有限空間の幾何学的性質と関係づけようとしている。
とくにQuillen予想、という形で、
正規p-部分群の存在を有限空間の弱可縮性
と関係づけている。

有限群として、局所体上の絶対ガロア群の商群を取ったときに、
有限空間の射影極限から得られる大偏差原理と、
p-部分群の持ち上げの性質について、
何か関係がつくようなうまい確率測度の列が存在しないだろうか？