2017 stable envelope

モース理論

• [Gi1] Geometric Methods in Representation Theory of Hecke Algebras and Quantum Groups
• [Gi2] Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties
• [Nak1] More lectures on Hilbert schemes of points on surfaces

deformation

• [CG] [Representation Theory and Complex Geometry]
• [M] Quantum Cohomology and Symplectic Resolutions

モース理論の量子化をFloer理論あるいはGromov-Witten理論と思うこととすると、Springer resolutionやNakajima varietyの量子cohomologyがどうなるか気になる。
この場合には、かなりの部分を統一的視点で捉えることが出来る。

• stable mapのmoduli spaceを定義できる(§2.2)
• virtual fundamental classが定義できて、smooth proper familyに対するdeformation invariantsになる(§2.3)
• equivariant symplectic resolutionの場合には、symplectic formに対するスカラー倍の対称性を付加して考える(§3.1)
• 例としてSpringer resolutionの場合がある(Th3.4)
  
  • [CG] Th3.4.1,Claim7.3.6における変形の話をGW不変量のdeformation invariantsの話に置き換えた
  • Steinberg correspondenceにgenus 0のstable mapが集中する
• equivariant cohomology(§4.2)
  
  • Atiyah-Bott localization(Th4.3)
• stable envelope(§4.3)
  
  • $S^{1}$-actionによるMorse theory、Bialynicki-Birula decompositionに対応する分割を用いる
  • torus$A$の$X$への作用において、$X^{A}$の各連結成分に対してpartial orderを入れることが出来る(Def4.5)
  • Lagrangian correspondenceを定義できる(Th4.6)
  • Stab(γ) is good for translating geometric operators on $X$ to geometric operators on $X^{A}$(Prop4.11)

Yangian

• [N] [場の理論における Yangian 対称性]

Yangianについて[N]では、

• 量子群はR-matrixを持つnon-commutativeなHopf代数
• Yangian　Y(g)はU(g)を部分Hopf代数に持つ最小の量子群
• Yangianの有限次元既約表現はDrinfeld多項式の組と対応する

という記述がある。

Quiver varietyと代数

• [MO] Quantum Groups and Quantum Cohomology
• [Nak2] Lectures on perverse sheaves on instanton moduli spaces
• [O1] Enumerative geometry and geometric representation theory
• [O2] Lectures on K-theoretic computations in enumerative geometry

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2017 局所Fourier変換

気になる動き

• [AFO] Quantum q-Langlands Correspondence
• [Fu1] l-adic realization of some aspect of Landau-Ginzburg B-models
• [KS] Airy structures and symplectic geometry of topological recursion

[AFO]では、頂点関数をquasi-mapの数え上げで定義し、(q,t)の2変数変形共形ブロックを定義している。
[KS]では、変形量子化の観点から、topological recursionを見直していて、Giventalの量子化とtopological rucursionの関係の説明を与えようとしている。
数体の絶対Galois群は、dessin d’enfantを通じて、Riemann面の分割、KZ方程式と関係づくが、より深いところで、上記の量子化と関係があるはず。
そのため、l進層およびp進層に対して、数え上げ、topological recursionとの関係、があるか、が問題になる。
が、現状、数え上げるべき対象が明確でないため、Frobenius多様体とモノドロミー保存変形の関係をl進層の言葉に移そうとしているのが[Fu1]で、GKZ幾何関数のモノドロミーをl進層上に定義し、LG模型を構築しようとしている。

局所Fourier変換の大まかな流れ

• [Sabbah1] FOURIER TRANSFORMATION AND STOKES STRUCTURES

• D加群とl進層に対して直線上Fourier変換が定義できる

  • l進層の場合はFourier-Deligne変換
  • D加群の場合はFourier-Laprace変換、確定特異点のみの場合は、変換後は、 0で確定特異点を持ち、無限遠点で不確定特異点を持ちうる。
  • D加群のR-emann-Hilbert対応では確定特異点型と偏屈層が対応し、偏屈層側ではspecializationとmicrolocalizationを入れ替えるFourier-Sato変換がある。複素多様体ではnearby-cycle,vanishing-cycleが対応する。
• 局所Fourier変換
  
  • l進層の場合は、vanishing-cycleを用いて直接的に局所Fourier変換が定義できる
  • D加群の場合は局所的に擬微分作用素、formal miclolocalizationを定義して、局所Fourier変換を定義できる(2.2)
  • Levelt-Turritin(Th3)
  • stationary phase formula(Th4)
• purity
  
  • l進層とくにl進偏屈層においてFourier変換はpurityと重みを保つ(3.1.Th1)
  • Griffith-Schmidの定理から、通常のHodge構造の変形ではD加群のFourier変換を捉えきれない(3.2.Th2)
  • D加群の場合は、twistor構造を見ることでpurityを捉えることが出来る(3.3.th6)
  • V-filtration、moderate nearby and vanishing cycleの定義(4.1.b)
  • 局所Fourier変換とmoderate nearby cycleとの関係(4.3.a,4.3.b.Prop1,Cor3,Cor4)
• 1次元の場合のRiemann-Hilbert対応
  
  • regular holonomic D加群と偏屈層の対応
  • Fourier変換をRH対応で捉えるためには、Stokes-perverse sheafの概念が必要
  • germs of meromorphic coonectionsと円周上のStokes-filtered local systemsの間の圏同値が存在する(6.1.Th2)
  • holonomic D加群とStokes-perverse sheavesの圏同値が存在する(6.4.Th13)
• 高次元の場合
  
  • 高次元の場合には、projective morphismによりgood structureへの持ち上げを行うことが最初に必要になる
  • real blow-up、holomorphic functions with moderate growthの定義(7.2)
  • moderate de Rham complexとそのコホモロジー(7.2. Th4)
  • RH対応(7.3.c.Th8)
• topological Laplace変換(8.2.a)

素朴な計算

• [Fang] Calculation of local Fourier transforms for formal connections
• [Fu2] Calculation of l-adic local Fourier transformations

まずは、exponential factorを具体的に記述することを、
Legendre変換を用いて行っている。
[Fang]では、D加群の場合にTh1で対応を与えている。
[Fu2]では、標数pの体上、l進層の場合に、Th0.1で対応を与えている。

Stokes filtration

• [HS] The local Laplace transform of an elementary irregular meromorphic connection
• [Sabbah2] An explicit stationary phase formula for the local formal Fourier-Laplace transform

上記、素朴な計算に関わる部分を、blow-upを用いて幾何的に説明しているのが[Sabbah2]。

• refined Turritin-Levelt(Cor3.3)
• ramificationの挙動(Prop3.8)
• elementaryの場合(Th5.1)
  
  • Katz extensionによる代数化
  • singular supportの計算
  • $e:(v,\eta)\rightarrow (v\eta,\eta)$によるblow-up(Figure1)
  • 個別の計算(lem5.5)

さらに、形式的な部分から、Stokes構造込みの対応を記述しているのが、[HS]。

• $\cal{F}^{(0, \infty)}M$に対応する円周$S^{1}_{\tau=0}$上の局所系を$\hat{\cal{L}}$。そのKatz extensionを$\hat{\cal{F}}$(3.2)
• $\hat{\cal{F}}$の表示(3.2.2)、stalkの表示(Prop3.2.3)
• divisor$D_{0},D_{\infty},D_{\hat{\infty}}$(3.3)
• projective modificationによるgood structure(Prop3.3.4)
• 高次cohomologyの消失(Th3.3.5)
• 具体的な表示(Cor3.3.6)
• Stokes filtrationの定義(Def3.3.7,3.3.8)
• 局所Fourier変換に対するStokes filtered local systemの対応(Th3.3.11)
• elementary meromorphic connectionの場合
  
  • ramification、exponential factorの対応(3.5.1)
  • blow-up(3.5.4)
  • 具体的な表示 ベクトル空間、同型、fitrationの記述(Cor4.2.1, Th4.3.3)
• standard filtration(6.1)
  
  • topological model(Def6.2.4)
  • Th1.3.6, Prop1.4.13

Ramification filtration

• [AS] Local Fourier transform and epsilon factors

疑問

• [AS]におけるramificationの議論と、real blow-upの議論を対応させること
• p進層の場合に、twistor構造に対応するにはFargues-Fontaine曲線を用いたGalois群の作用が必要になるはず。p進層の局所Fourier変換をtopologicalに理解すること

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2017 rigid local system

rigid local system

• [DR] On the middle convolution of local systems
• [DS] Hodge theory of the middle convolution
• [Katz] Travaux de Laumon
• [Y] Rigidity in automorphic representations and local systems

cohomologically rigid $\Rightarrow$ phisically rigid

D-moduleの場合

• [BE] Local Fourier transforms and rigidity for D-modules

• Fourier変換は素朴には、$\exp(-tt')$を核とする$Spec(k[t])\times Spec(k[t'])$上の$Rp_{2*}p_{1}^{*}$の処理であるから、(2.1)の形で書け、さらにGauss-Manin connectionの形でde Rham複体の言葉で書き直せる(lem3.2)

• good lattice pairを用いて局所的にFourier変換$\cal{F}(0,\infty),\cal{F}(\infty,0),\cal{F}(\infty,\infty)$を定義できる(Prop-Def3.5,Def3.8,Def3.11)
• 局所Fourier変換$\cal{F}(0,\infty),\cal{F}(\infty,0)$を用いて圏同値が記述できる(Prop3.10)
• irregularityについての公式(Prop3.14)
• index of rididityの定義(Def4.2)
• rigidity=2の場合をcohomologically rigidとする
• Fourier変換でindex of rigidityは不変(Th4.3)
• rigid(phisically rigid)の定義(Def4.8)
• index of rigidity$\ge$2ならrigid(Th4.7)特に、cohomologically rigidならphysically rigid
• physically rigidならcohomologically rigid(Th4.10)
  
  • Th4.10の証明は、変形関手の表現可能性とsmoothnessを示して、普遍変形がlifting元の引き戻しであることを示す
  • 変形関手の表現可能性はSchlessinger’s Criterion　
  • 普遍変形はalgebraizable

$l$進層の場合

• [Fu1] Deformation of $\ell$-adic sheaves with Undeformed Local Monodromy
• [Fu2] Deformations and Rigidity of $\ell$-adic Sheaves

[Fu1]では、Schlessinger’s Criterionを用いて、
局所モノドロミーを保存する変形に対して、
pro-representabilityが示されている。(Th0.1)

Schlessinger’s Criterionとは、
https://ncatlab.org/nlab/show/deformation+functorにあるように、

• H1: 貼り合わせ可能(lem1.3)
• H2: infinitesimalには貼り合わせはunique(lem1.4.(b))
• H3: 接空間は有限(lem1.9)
• H4: small thickeningでの自身の貼り合わせはunique(lem1.4(a))

という条件。

[Fu2]では、[BE]の議論をl進層に移すために、rigid analytic spaceでの議論を行っている。

Q:

• p進層で局所Fourier変換を定義して、rigidityの議論ができるか?
• l進とp進の対応を保型表現を介してつける、という観点からは、rigid automorphic representatationはl進、p進と(arithmetic)Langlands対応により対応するはず。一方で、[Y]でのLanglandsは幾何学的Langlands対応を用いている。この間の関係は?
• Galois表現の変形関手を(何らかの条件の付加が必要?)示して、cohomologically rididの性質を同様に示せるか?
• lisse l進層のmoduliのnon algebraizabilityとPainleve性を結びつけることが出来るか?

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2017 p-adic Hodge

Hodge-Tate

• [Feng] Hodge-Tate Theory
• [Olsson] Faltings’ method of almost ́etale extensions

[Feng]では、

• p進局所体$K$の代数閉包の完備化$C_{K}$のGalois cohomology(Th2.1)
• $G=Gal(\overline{K}/K)$を$\Gamma_{K}=Gal(K_{\infty}/K)$と$H_{K}=Gal(\overline{K}/K_{\infty})$に分けて各々計算 $H_{K}$(Th2.3,Th2.10) $\Gamma_{K}$(Th2.15)
• $C_{K}(i)$の$Ext^{1}$の計算(Cor2.19)
• Tate-module$T_{p}$,$V_{p}$,$W_{p}$の定義(Def3.1,3.2)
• $\Omega=\Omega^{1}_{\overline{\cal{O}_{K}}/\cal{O}_{K}}$に対して、$W_{p}(\Omega)=C_{p}(1)$(Th3.3, Cor3.13,Cor3.14)

の記述がある。
$C_{p}(1)$という算術的対象が、$\Omega^{1}_{\overline{\cal{O}_{K}}/\cal{O}_{K}}$という幾何的対象で解釈される。そのためには、良い$\mathbb{Z}_{p}$拡大により分岐を消していくことが必要だった。

p-adic Hodge(Beilinson)

• [Illusie] Around the Poincar ́e lemma, after Beilinson
  
• [SZ] The p-adic Hodge decomposition according to Beilinson

Hodge理論において代数幾何の範囲に収まらないのは、Poincare lemmaで、
これが関手性を持って示されれば、比較同型定理はRiemann-Rochの定理同様、Gysin同型とChern類の議論を用いて簡単な場合に帰着される。

Beilinsonの比較同型定理の証明の手法は、
derived de Rham complexを用いて周期環を定義し、
p-adic Poincare lemmaをh-topologyの下で示すものだった。

[SZ]には、

• 準備
  
  • cotangent complexのtransitivity triangle(Th2.13)
  • first order thickening(Prop2.18)
  • derived de Rham complex(Def2.22)
  • Hodge-completed derived de-Rham complex|algebra(Def2.23)
  • universal first order thickening(Th2.29)
  • universal p-adically complete first order thickening(Prop3.10)
  • the derived p-adic complection(Cor3.31)

• 定義

  • $A_{inf}:=W((\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/(p)))^{perf}$
  • universal p-adically complete thickening of order k(Prop3.14)
  • derived p-adic complectionを用いた周期環の定義 $A_{\mathrm{dR,\it{K}}} := L\hat{\Omega}^{\centerdot}_{\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/\cal{O}_{\it{K}}}$ (§4.1)
  • $L\hat{\Omega}^{\centerdot}_{\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/\cal{O}_{\it{K}}}\hat{\otimes}\mathbb{Z}_{p}:=R\underleftarrow{\lim}(L\hat{\Omega}^{\centerdot}_{\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/\cal{O}_{\it{K}}})\otimes^{L}\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}$(Cor3.30)
  • universal p-adically complete PD thickening of order k(Th4.9)
  • the Fontaine element$t\in Fil^{1}B^{+}_{dR}$(Const 4.11, Def4.12)

• geometric side

  • h-topologyの定義(Def5.4)
  • torsion etale sheafとh-sheafの関係(Cor5.7)
  • category$\cal{P_{k}}$の定義と$\cal{A}_{\mathrm{dR}}$、$\hat{\cal{A}_{\mathrm{dR}}}$の定義(Def5.11)
  • filtered quasi-isomの構成(Th5.13), Hodge-complete version(Th5.14)
• arithmetic side
  
  • $\cal{A}^{\sharp}_{\mathrm{dR}}$の定義
  • $\cal{A}^{\sharp}_{\mathrm{dR}}\otimes\mathbb{Q}\simeq \hat{\cal{A}_{\mathrm{dR}}}$(Prop5.16)
• Beilinson’s p-adic Poincare lemma(Th5.17)
  
  • p-divisibility(lem6.14)
• 比較同型写像の構成(Construction5.19)

の記述がある。

p-adic Hodge(perfectoid)

• [Bhatt] THE HODGE-TATE DECOMPOSITION VIA PERFECTOID SPACES

[Bhatt]には、

• $\nu:X_{proet} \rightarrow X_{et}$
• local version Hodge-Tate filtration(Th3.3)
• deformation invariance of the category of formally etale algebra(Th3.11)
• $X_{proet}$のbasis for the topologyとしてaffinoid perfectoidが取れる(Th3.21)
• $R^{i}\nu_{*}\hat{\cal{O}_\mathrm{X}}$の計算(lem3.25)
• 1-dim torusの場合に帰着(§3.5)

の記述がある。

Riemann-Hilbert

• [LZ] Rigidity and a Riemann-Hilbert correspondence for p-adic local systems

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2017 Symplectic resolution

• [G] Symplectic algebraic geometry and quiver varieties
• [K] Geometry and topology of symplectic resolutions
• [M] Quantum Cohomology and Symplectic Resolutions
  
• [N1] Lectures on perverse sheaves on instanton moduli spaces
• [N2] Introduction to a provisional mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ gauge theories

変形量子化

[G]では、

• 変形関手の定義、可換環の量子化の定義(Def1.3)、1パラメータ量子化の定義(Def1.4)

• Poisson代数の定義(Def1.5)、量子化とPoisson構造の変形の関係(Th1.10)の説明

• 正則な場合の量子化とPoisson構造の変形の関係(Th2.2)

• semi-positive varieryの定義(Def3.2)
• semi-positive varietyの性質(§3.2)
• Symplectic resolutionの定義(Def4.1)、running hypottheses
• universal Poisson deformationの存在とcohomologyのpurity(Th4.2)
• 量子化の存在(Th4.3)、代数性(Th4.4)

を説明している。
Th4.2の証明には、 標数pにおけるtilting generatorの存在(Th4.8)、Beilinson typeのdiagonal resolutionが使用されている。

標数pでの量子化

[K]では、tilting generatorの存在を標数pの議論によって示している。

• Beauvilleの意味でのSymplectic singularityの定義(Def1.1)
• Symplectic resolutionの定義(Def1.2)
• Symplectic resolutionがきつい条件である予想(Conj1.3)
• Poisson varietyのquantization(Def2.2)
• Symplectic resolutionの場合のcanonical quantizationの存在(Th2.3)
• localにはDarboux型の定理がある(Prop2.4)
• Poisson algebraとquantized algebra(Def2.6)
• quantized algebraでh-完備かつno h-torsion、と、quantizationの同値(hによる補間)
• smooth symplectic varietyのquantizationとsymplectic corrdinate torsorsの同型類が対応する(Prop2.8)
• Frobenius-constant quantization(Def3.1)
• 標数pではProp2.4は成り立たない。原因はhigher de Rham cohomologyが消えないため(Rem3.4)
• restricted quantized algebra、restricted Poisson algebra(h=0)(Def3.7)
• restricted Poisson structureを持つための条件(Prop3.10)
• good quantization base(Def3.11)
• good quantization base$B$が与えられた時、cohomologyが消えるという条件のもと、smooth symplectic varietyのB-quantizationの同型類が記述できる(Th3.16)
• 標数0の体上のSymplectic resolutionはetale localにtilting generatorを持つ(Th4.2)

3次元 N=4 ゲージ理論

[N2]では、Symplectic resolutionの場合に、
Higgs枝、Coulomb枝について、数学的な定義を与えている。
量子化されたCoulomb枝は、formal diskへのトーラス作用を用いて同変Borel-Moore homology群上に定義される。

疑問

数論において、古典的な保型形式のHecke環は、moduli空間におけるconvolution積によって定まる可換環だった。Taylor-WilesのR=Tの議論は、convolution積によって定まる環が、Galois表現の普遍変形環と同型である、というものだった。
Galois表現の変形とCoulomb枝に自然な解釈をつけることが出来るだろうか?

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サマースクール復習(2016)その7

Frobenius多様体とRiemann-Hilbert問題

• [S]Frobenius manifolds: isomonodromic deformations and infinitesimal period mappings

[S]のまとめ

• Riemann-Hilbert問題は、射影直線$U=\mathbf{P}^{1}-\Sigma$の場合、与えられた$\pi_{1}(U)$の表現に対応するモノドロミー表現を持つ、$\Sigma$の各点で高々対数的極のみを持つ微分方程式を与えよ、という問題。(Appendix A)
• 微分方程式の形は、$\Sigma_{\sigma}A_{\sigma}\frac{dz}{z-\sigma}$となり、matrix${A_{\sigma}}$を求める問題となる。
• Birkhoff問題は、polar partの標準形を与えよ、という問題で、Weilによるベクトル束のadele実現を用いてdouble cosetの標準形を与える、という観点から、射影直線$\mathbf{P}^{1}$上のベクトル束の分類に対応する。(A2.1, A2.2)
• 座標$z$を固定すると$B(z)=z^{-1}B_{0} + B_{\infty}$が原点でtype1, 無限遠点でtype0の極を持つmeromorphic connectionのBirkhoff normal form。(2.1.1)

• 対応するconnection matrixは、$B(z)\frac{dz}{z}$

• holomorphicなベクトル束$F$に対して層$\mathcal{F}$、meromorphicなベクトル束$M$に対して層$\mathcal{M}$およびlattice$\mathcal{E}$の概念がある。

• $\mathbf{P}^{1}$上のベクトル束は離散的な情報のみで定まる。そのため、自明束はパラメータに対するhypersurfaceを除いてrigidityを持つ。(Th1.1.1)
• よって、meromorphicにはtrivializationを取ることが出来る
• flat holomorphic connection、flat meromorphic connectionの概念がある。
• discD上のmeromorphic connection$(F, \nabla)$に対して、residue$R_{0}$、1-form$\Phi$が定まり、flatnessから定まる関係式を満たす。
• $\mathbf{P}^{1} \times X$上のTh1.1.1の条件でのflat meromorphic bundleの標準形(lem1.3.3)
• metricの条件を付加した場合(1.4)
• $(F, \nabla)$から定まるデータ$\Theta,\mathcal{M},\mathcal{E},\mathcal{E}_{\infty},\Phi,R_{0},\triangledown,R_{\infty}$(1.5.1-1.5.4)
• relation$\triangledown^{2}=0,\triangledown(R_{\infty})=0,\Phi\wedge\Phi=0,[R_{0},\Phi]=0,$$\triangledown(\Phi)=0,\triangledown(R_{0})+\Phi=[\Phi,R_{\infty}]$(1.5.5)
• metricの条件を付加した場合(1.5.6)
• 逆に1.5.5のデータから$(F, \nabla)$が定まる。(1.5.7)
• local Fourier 変換により、Riemann-Hilbert問題とBirkhoff normal formが等価となる。(Prop1.6.2)
• Riemann-Hilbert-Birkhoff問題は、rigidity(Prop2.2.1)と標準形を持つ。(Cor2.2.4)

• universal deformation(Th3.1.1)

• Saitoh structure without metric
  $\pi:\mathbf{P}^{1}\times M \rightarrow M$に対して、$\triangledown,\Phi,e,\frak{E}$(Def4.1.1)

• $R_{0}=-\Phi(\frak{E})$ $R'_{\infty}=\triangledown(\frak{E})$とすると、relation1.5.5を満たす(4.1.1)
• flat coordinates $t_{1},\cdots,t_{d}$が定まる。$\triangledown{\partial_{t_{i}}}=0$(4.1.5)
• Saitoh structureの$\Phi$により$\Theta_{M}$に対してmultiplicationが定義され、flatnessとsymmetricからcommutative,assosiativeがでる(4.1.2)
• $Specan{\Theta{M}}$は$TM$のclosed analytic varietyで、良い条件の場合はLagrangian。(4.1.7,4.1.9)
• さらに、$L \rightarrow M\times \mathbf{C}\rightarrow \mathbf{C}$、$\det(t Id - R_{0})=0$の形となる。(4.1.8)
• canonical coordinates(4.1.10)
• discriminants(4.1.11)
• Saitoh structure with metric(Def4.1.12)
• Frobenius manifold(Def4.2.1)

• Saitoh structure with metricとFrobenius manifoldの等価性(Prop4.2.2)

• infinitesimal period mapping(4.3)1.5.5の状況で、$E$の構造を$TM$の構造にうつすために写像を定義する。
  $\phi_{\omega}:TM\rightarrow E, \phi_{\omega}(\xi)=-\Phi(\xi)(\omega)$
  $\phi_{\omega}$が同型の時、$\omega$をprimitive sectionと呼ぶ。(Def4.3.2)

• Frobenius manifoldの特徴づけ(Th4.3.6)
• simply connected massive Frobenius manifoldとuniversal isomonodromic deformationに付随するFrobenius manifoldの対応(Th5.1.2)

疑問

• 複素数体上では射影直線上のベクトル束のrigidityを用いてisomonodromy変形とFrobenius多様体の議論ができた。
• p進体上では射影直線に対応するのは、Fargues-Fontaine曲線となるはず。
• FF曲線上のベクトル束は離散データのみで定まるが、変形に対するrigidity、その上のflat connectionについて、Frobenius多様体の議論と並行する性質が存在するか?
• その場合、Frobenius作用を込みにした(p進の意味での)Frobenius構造が必要になるはずで、Frobenius-Frobenius多様体をFargues-Fontaine曲線を用いて定義できるか?という話になる。
• 前提として、Riemann-Hilbert問題、Simpson対応をp進で議論できるか?という点がクリアにならなければならない。

Painleve方程式との関係

• [D] Painleve’ transcendents and two-dimensional topological field theory
• [ILT] Isomonodromic tau-functions from Liouville conformal blocks
• [KMS] Flat structure on the space of isomonodromic deformations

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サマースクール復習(2016) その6

quadratic hamiltonianの量子化

• [CI] A Fock Sheaf For Givental Quantization
• [G] Gromov - Witten invariants and quantization of quadratic hamiltonians
• [M] Quantization of quadratic hamiltonians

Definition 4.47 ( [61]). Givental’s propagator

[M]では、

• $h_{A}(f)=\frac{1}{2}\Omega(Af,f)$の具体的な座標による表記(zの指数の符号–+,-+-,++の組み合わせで留数を展開)
• 内積に対するself-adjointを満たす式
  $S(-z)^{T}S(z)=1$
  の変形を記述する、$\sum_{k,l=0}^{\infty}W_{kl}z^{-k}w^{-l}=\frac{S(-z)^{T}S(w)-1}{z^{-1}+w^{-1}}$
  (Givental’s propagator,Givental’s R-matrix)を用いた、
  $\mathrm{S}^{-1}\cal{F}=\exp^{W(\mathbb{q},\mathbb{q})}\cal{F}([\mathrm{S}\mathbb{q}]_{+})$
  (Th1)の導出

が説明されている。
[G]では、

• 2次のHamiltonianの量子化
• Gromov-Witten invariantsのgravitational descendentsとancestorsの関係式(Th5.1)
• genus 0 descendent potentialのreconstruction(Cor5.4)

と、[M]の式の適用先の説明がされている。ただし、細かな完備化、収束などの正当化については省かれている。
これらの概念の詳細な記述、Frobenius多様体、幾何学的量子化によるreconstruction theoremの解釈は[CI]に詳しい。

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