解析的曲線とトロピカル化

有限語の上の確率測度と大偏差原理は、
レート関数が相対エントロピーという形で奇麗に表される。
有限語を点とみて、語間の遷移確率を指定したマルコフ過程は、
有限グラフの辺に長さの構造が入ったものと見なせる。

有限語に対する重みを与えることを、
重みのパラメータを次元とするトーラス作用を与えることと思うと、
有限グラフとトロイダル多様体との間に何か関係が欲しくなるが、
これをBerkovich空間の言葉で表すことができる。
Berkovichの意味での解析的曲線は、
有限グラフへの変形レトラクトを持ち、
有限グラフと解析的曲線のsemi-stable modelとの関係がつく。


* トーリック多様体とトロピカル埋め込み
Analytification is the limit of all tropicalizations
(http://arxiv.org/abs/0805.1916)

Nonarchimedean geometry, tropicalization, and metrics on curves
(http://arxiv.org/abs/1104.0320)

* log-smooth
Lectures on Logarithmic Algebraic Geometry
(http://math.berkeley.edu/~ogus/preprints/log_book/logbook.pdf)
トロイダル多様体への埋め込みや、semi-stable curveという話を、
制限を付けずに扱うためには、ログ多様体の意味でのsmoothnessとしてあつかった方がよいと思われる。
Berkovich空間のログ多様体としての解釈はどうなるのだろうか？
局所環付き空間なので、定義自体はそのまま移行可能だろう。

有限グラフのゼータ関数

有限グラフのゼータ関数
Number theory of Graphs
(http://math.ucsd.edu/~aterras/2010%20newton.pdf)
または、
Zeta Functions of Graphs

* regular graph
多様体は、局所的にすべてEuclid空間に同型な幾何学的対象である。
有限グラフにおいて、局所的、という概念は、各頂点の近傍に対応する。
その位相的な性質は、頂点においてどれだけ辺がでているか、ということになるから、
多様体と同様に局所的にすべて同型という性質を持たせようとすれば、
頂点から出ている辺の数がすべて等しい、
という性質が要請される。この性質を満たすグラフをregularグラフという。
* Weil予想
有限体上の完備代数曲線について、それがsmoothであれば、
そのFrobenius作用素の固有値の絶対値について、purityが成り立つ、
というのが、Weil予想であった。
有限グラフについて、完備、という性質は、次数1の頂点が存在しない、と読み替え、
smoothをregularと読み替える。
グラフの辺に正、負双方の向き付けを与えて、ラベル付けを行い、グラフに従ってpathの集合を作る。
この集合におけるシフト作用素がFrobenius作用素に対応し、ゼータ関数は、
Iharaのゼータ関数として定式化される。
Weil予想に対応する結果は、隣接行列の固有値の性質に読み替えられるが、
すべてのregularグラフに対して成り立つことは言えず、
Weil予想が成り立つグラフをRamanujanグラフと定義している。

* Riemann面に対応するリボングラフ
Riemann面に対しては、ModuliのCell分割によってリボングラフが対応した。
このリボングラフの辺の長さがすべて等しいとき、そのRiemann面は数体上の代数曲線から来る。
(Berliの定理の言い換え)
すなわち、グラフの長さからなる単体と確率測度を対応させると、確率測度のエントロピーが最大になるときが数体上の代数曲線に対応していた。
そこで、次のような疑問が自然に出る。
- Riemann面に対応するリボングラフを有限グラフと見たとき、regularを満たすRiemann面はどのような性質を持つか？
- RIemann面のリボングラフを有限グラフとみたとき、これは何を表すか？
cell分割が、semi-stableな境界を含んでいて、
semi-stableに対応する双対グラフとして意味を持つか？
- Riemann面が数体上定義されるとき、p進でのBerkovich空間でのレトラクションとして有限グラフが得られる。これがtrivialにならないためには、代数曲線のモデルをとって、特異ファイバーが生じるところでみることになるが、この有限グラフと、もとのリボングラフはどのように対応するか？

SEMI-GRAPHS OF ANABELIOIDS
(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Semi-graphs%20of%20Anabelioids.pdf)
A dual point of view on the ribbon graph decomposition of moduli space
(http://arxiv.org/abs/math/0601130)
を読む必要がありそうだ。

* Brown運動とIharaのゼータ関数
regularグラフのIharaのゼータ関数のBassによる表示は、
det(I-uA+u^2Q)
と2次の形になっている。
そこで、Iharaのゼータ関数とBrown運動の生成作用素に対応がつくか？
という疑問が自然に浮かんでくる。
degree1の頂点が存在しないregularグラフのもとで、
境界条件はどうなるか？
下記の三つ組みがIharaのゼータ関数の2次表示と一致するのは、たとえばすべての辺の長さが1など、
具体的に書けるか？
Brownian Motions on Metric Graphs
(http://arxiv.org/abs/1102.4937)
を読む必要がありそうだ。

* 有限グラフのAbel-Jacobi
Riemann-Roch and Abel-Jacobi theory on a finite graph
(http://arxiv.org/abs/math/0608360)
では、対称積からJacobianを定義している。
そこで、Zelditchの大偏差原理の記述に対応するものを有限グラフで探してみたくなる。

* regularityの摂動
ランダムシュレディンガー作用素については、Anderson局在が成り立ち、
ランダムネスが減少するに従って、固有値の性質が絶対連続性を持っていた。
有限グラフにおいて、regularityは極めて強い条件と思われるが、
有限グラフをものすごく大きな次数で被覆して得られる有限グラフを考え、
その極めて小さい部分のみregularityを変更するように辺を挿入すると、
Iharaのゼータ関数は行列の微小摂動であるから、多項式として微小変動する。
この変動について、どのようなことがいえるか？

雑多な話

* Szegö via Jacobi
(http://arxiv.org/abs/math/0604009)
に、Szegoのstrong limit theorem(http://en.wikipedia.org/wiki/Fredholm_determinant)
の証明があった。

* 有限体上の超楕円曲線のFrobenius写像の固有値の分布で、genusに関する極限を取る話
Traces of high powers of the Frobenius class in the hyperelliptic ensemble
(http://arxiv.org/abs/0811.3649)
有限体の位数ではなく、曲線の種数で極限を取る、
という点で、面白い。
これを、数体(標数を固定して局所体で考えれば十分)上のモデルからreductionによって得られるものとしたとき、
dessin d'enfantの系列はどうなるだろうか？

* 代数曲線と非可換代数
Calogero-Moser Spaces over Algebraic Curves
(http://arxiv.org/abs/0809.4521)
射影直線の導来圏はKronecker代数の導来圏と同型だが、
これを逆にみて、代数曲線上の微分作用素のなす代数を
非可換代数上の加群の言葉で書こうという話。

Ribbon graphとRiemann面

* Ribbon Graphとリーマン面の対応
RIBBON GRAPHS, QUADRATIC DIFFERENTIALS ON RIEMANN SURFACES, AND ALGEBRAIC CURVES DEFINED
OVER Q-bar
(http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/ribbon.pdf)
に、Ribbon graphとRiemann面の対応が紹介されている。

そのもとで、
LECTURES ON THE ASYMPTOTIC EXPANSION OF A HERMITIAN MATRIX INTEGRAL
(http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/lectures.pdf)
において、行列積分、すなわち、Hermitian matrixのもとでの、
log(E(exp(?)))
の形の式と、Riemann面のモジュライが結びつく。
ここで、E()は上の文脈ではA()と漸近展開の意味であるが、
これを何らかの意味での期待値と見なしたい。

* ラプラス変換とPoincare多項式
TOPOLOGICAL RECURSION FOR THE POINCARE ́ POLYNOMIAL OF THE COMBINATORIAL MODULI SPACE OF CURVES
(http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/mppoincare2.pdf)
では、上記の行列積分の漸近展開式の各(g,n)に対応する部分について、
Eynard-Orantinの組み合わせ漸化式から漸化式を導出している。

ここで気になってくるのは、
Riemann面をfixしてN点をとったときの、LDPはグリーン関数に基づいた
Rate関数が出てくるが、
複素構造を決めずに、
N点を取ってから、たとえばVoronoi図をとって領域を分割し、
そこからRibbon graphを作って、対応するRiemann面を取る、
という手順にすると、(g,n)をfixしたモジュライの上に確率測度が導出され、
その測度の元でのLDPのRate関数として、上記の行列積分の破片がでてくる、
というようにはならないだろうか？
ということ。
無論、N点をとってRibbon graphの上に長さを定義できるためには、
最初にユークリッド構造を入れておく必要がある。
つまり、universal curve上にGauss-Manin connectionが入って、
connectionと両立する移動のみでモジュライ空間の上をふらつくような、
点過程、
というものが素朴な抽像になる。

Zelditchの論文では、Gaussian random polynomialsを考えていたが、
そこに複素構造の変形までrandomにすることを含めるには、
どのようにすればよいだろうか？

累積分布の逆関数

一様分布の乱数から、確率測度のシミュレーションを行うときに、
自然と累積分布関数の逆関数、という話が出てくる。

ここで、逆関数をみる、ということは、
楕円積分などのアーベル微分と絡んでもよいと思うのだが、
分布関数が種数1以上の代数曲線の周期と結びついた確率測度、
という話をみたことがないので、
面白い分布関数がないものか？
と気になる。

* 代数曲線の種数増大列
Katz-Sarnakのランダム行列の議論では、
有限体上の代数曲線の列で、種数->無限大
となるものを考えて、
そのフロベニウス作用素の1次コホモロジーの固有値
から作られる確率測度のGUEへの収束をみていた。

* ベータ分布
上記の代数曲線の列として、
GUEに収束しないものの例として、
Fermat曲線があげられている。(ただし、次数と標数に制限がつく。)
Fermat曲線は、
射影直線の{0,1,無限大}における分岐
によって得られ、
式の形からも、標数0に持ち上げられ、
整数環上定義されるものである。

複素数体上で、
Fermat曲線のアーベル微分をみると、
その周期は、ベータ関数で表される。
ベータ分布でパラメータが特殊な有理数となっているものの列
が、標数pへのreductionでGUEに収束しない列を与えている。
ベータ分布は、事前分布も事後分布もベータ分布となるような、
尤度関数を持っている。

* そこで、次の疑問がわく。
射影直線の{0,1,無限大}における分岐、
すなわち、dessin d'enfantを考えて、
適当な被覆列をとる。

1. その[0,1]におけるアーベル微分の周期をとって、確率測度とする。
被覆列についてみると、確率測度の列ができるが、
この列を事前分布、事後分布として解釈できるような尤度関数は存在するか？
2. 確率測度の列について、各尤度関数は、その代数曲線のempirical measureのレート関数と、なにか関係がつくか？
3. 適当なパラメータの特殊化を行って、有限標数にreductionを行うと、代数曲線列は、固有値測度がGUEに収束しない列となりうるか？

タウ関数についての妄想

p-adic periods and the derived de Rham cohomology
(http://arxiv.org/abs/1102.1294)
では、
derived algebraic geometryの言葉を用いて、
B^{+}_{dR}をA_{dR}:derived de Rham algebra
のderived p-adic completionとして同一視している。

h-topologyやcotangent complexの枠組みを理解していないので、
詳細はよくわからない。

一方、
$\epsilon$-factors for Gauss-Manin determinants
(http://arxiv.org/abs/math/0111277)
では、
residueによるdualityを利用して、
クリフォード群とハイゼンベルグ群を整理し、
射影加群とdeterminant line bundleの言葉で、
タウ関数のフェルミオン的な立場を代数的に記述している。

上記のp進的な話が、p-adic differential equationあるいは、
ガロア表現を通じて、タウ関数と結びつき、
さらに、
derived algebraic geometryの言葉を通して、
free loop algebraひいては何らかの意味でのWiener空間と自然に結びついてくれるとうれしい。

直線束の大域切断から得られる確率変数の大偏差原理

LARGE DEVIATIONS OF EMPIRICAL ZERO POINT MEASURES ON RIEMANN SURFACES, I: g = 0
(http://arxiv.org/abs/0904.4271)
Large deviations of empirical measures of zeros on Riemann surfaces
(http://arxiv.org/abs/1101.0417)
に、リーマン面上の直線束をとり、その大域切断から得られる
RandomPolynomial
について、零点の位置からなる測度についての大偏差原理
が示されていた。
種数0の場合は、多項式空間にガウス分布からなる基底を入れて話をすることで、
ほとんどユニタリー群に対するランダム行列の場合の、
n-Fekete setのcounting measureが平衡測度に収束する場合の議論
(ex. Orthogonal Polynomials and Random Matrices(Deift)の6章の議論)
と同様の話を行える。

種数一般の場合は、零点をdiviserに置き換えて、Abel-Jacobiの定理によりリーマン面の対称積上に引き戻した上で、
種数０の場合に座標を用いて書かれていた箇所をPrime formsで書き直すことにより、
大偏差原理のレート関数を書き表すことができる。

Heights and measures on analytic spaces. A survey of recent results, and some remarks
(http://arxiv.org/abs/1001.2517)
では、計量付き直線束の議論をp進体上でも行っているので、
ガウス分布に対応するものが何か？
といった話を考えるのも興味深い。