サマースクール復習その7

平方完成としての極小モデル

non-unitalなA∞代数(A,m)に対して、H(A)上のA∞構造を定めるのは、平行完成の類似である。 
具体的には、(A,m1)を直交分解して(H(A),0)と直交成分に分けたい。 
Homological mirror symmetry and torus fibrations§6.4では、 
d=m1と可換な(直交)射影Π:A→B=Π(A)を取り、 
ホモトピー写像H：A→A[−1]を1−Π=dH+Hdとなるようにとった状況で考えている。 
i:B→A,p:A→B,Π=i∘pとして、 oriented planar treeに対して、rootにp、leavesにi、vetexにmkを置いたものを局所的に変更することで、 
B上のA∞構造(B,mB)を定めている。 
dH+Hdの部分を表現するために、m^BnとmBnを用意し、 
1−Πの部分を表現するために、mB,ΠnとmB,1nを用意し、 
1−Π=dH+Hdから関係式m^Bn=dmBn+mBnd−mB,Πn+mB,1nがでる。 
一方で、m1mj+∑±mjm1=高次の項の式とdH+Hdの置き換えから、m^Bn=mB,1nでなければならない。 
よって、dmBn+mBnd=mB,Πnとなる。

符号を含めた記述は、Noncommutative homotopy algebras associated with open strings§5.3にある。

Hodge分解

リーマン面上の調和関数の存在は、ディリクレの原理を用いて、L2の範囲で解を構成した。 
調和形式を用いたコンパクトケーラー多様体上のHodge分解もほぼ同様である。 
e.g.The Hodge Decomposition 
多様体上の楕円型微分作用素 -Hodge theorem

Feynman-Kacの公式

Feynman-Kacの公式は、拡散方程式の解をBrown運動の期待値を用いて書くもの。 
特に調和形式は、Brown運動を用いて解釈できる。 
そこで、A∞代数$に対して、Brown運動のようなものが存在するかどうかが気になる。

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