2014年2月19日水曜日

Fedosov量子化


PD-thickeningは、 
標数pの体上の対象を、標数0に持ち上げて、 
その持ち上げによらない対象を得るために使用される場合がある。 
その例が、p-divisible groupの場合のDieudonne crystalだった。 
特に、楕円曲線の場合は、 
でてくるのは、普遍拡大であり、 
Hodge-Arakelov理論では、 
さらに、直線束まで組にして、 
crystalとなることを示していた。
一方で、持ち上げの自己同型群を用いて、 
Harish-Chandra pairsを用いて局所化の議論により、 
持ち上げによらない対象を得る場合もある。 
その例は、formal geometryを用いた、 
algebraic varietyの上のFedosov quantizationの構成がある。
deformation quantizationをthickeningの話に持ち込もうとすると、 
NC-thicheningの概念が適用できそうだ。

Formal geometryと局所化

Atiyah class

Fedosov量子化

シンプレクティック多様体上において、 
C∞のレベルでは、Weyl代数束の大域切断を構成して、 
Weyl代数の積を利用して量子化を行うことが出来る。(幾何学の量子化(前田、佐古)4.3)
Fedosov quantization in algebraic context 
では、代数多様体の場合に、formal geometryの概念を用いて、 
構成ができることを示している。(記号が(g, K)と逆なのでちょっとわかりにくい。)
Fedosov quantization in positive characteristic 
では、標数pの体上でFedosov quantizationを行っている。 
Leipniz ruleからPoisson構造に対して可換な元が増えるので、 
その制御を行う必要がある。

NC-scheme

Fourier transform for D-algebras 
lem1.1 Lie algebroidのcentral extensionとfiltered D-algebra+graded ringの対応

A∞構造のmoduliと代数曲線

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2014年2月14日金曜日

楕円曲線のミラー対称性

* 楕円曲線のモジュライ
楕円曲線のモジュライは1次元で、
コンパクト化すると退化する楕円曲線に対応する部分が付け加わる。
複素数体上では、粗モジュライ空間は上半平面をSL(2,Z)で割った空間であり、
上半平面の無限遠点に対応する部分がコンパクト化で足される。

退化楕円曲線は1次元複素トーラスにnodeを付け加えたものになるので、
トーラス作用によりテータ関数などの記述が用意になる。
そこで、
- 退化した点まで含めて楕円曲線のモジュライ空間を定義すること
- bad reducitonも込めて記述ができるようにモジュライ空間を整数環上で定義すること
- Neron modelの具体的な記述を行うこと
といった点が問題になる。

ARITHMETIC MODULI OF GENERALIZED ELLIPTIC CURVES
では、整数環上での楕円曲線のモジュライ空間を定義している。

MINIMAL MODELS FOR ELLIPTIC CURVES
では、minimal regular resolutionのsmooth locusがNeron modelになることを説明している。(Th5.4)

An analytic construction of degenerating curves over complete local rings
cusp周りで実際にTate curveの退化の様子を記述している。

* ミラー対称性
楕円曲線をシンプレクティック多様体とみて、Aモデルを定義する場合、
鍵になるのはテータ関数だった。
テータ関数を概正則三角形の面積を用いて記述し、深谷圏の定義を行っていた。

しかし、ミラー対称性が複素の世界ではなくモチーフの世界の現象であるとするなら、
テータ関数はよりarithmeticに定義され、
深谷圏も、数体及び整数環、あるいは数論的モジュライ上で定義されるべき、
ということになる。

Arithmetic mirror symmetry for the 2-torus
では、テータ関数を、lattice pointsの数という形で定義している。
しかし、ここでは、底空間は、楕円曲線のモジュライ空間まで伸びてはいない。

* テータ関数の離散化、整構造、モジュライ空間への延長
保型形式にせよ、Manin-Drinfeldの定理
(ex. ON MODULAR UNITS
にせよ、
cuspでの振る舞いがモジュライ空間全体に延長する、というある種の硬さがある。

A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I
では、
- 楕円曲線の普遍拡大空間上の多項式関数に整構造を定義する
- 整構造は退化楕円曲線についてまず定義され、そこから楕円曲線のモジュライ空間全体に解析接続される
- 多項式関数は楕円曲線の等分点上での離散的な関数に対応する
ということが述べられている。
Q:これは離散的な形でHodge-filtrationの変形を測るために導入されているが、
算術的なミラー対称性として解釈できないだろうか?
Q:戸田格子の理論を上記の整構造を用いて離散化できないだろうか?

A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves II
では、
- crystalline theta objectを定義する
- Schottky-theoretic Hodge-Arakerov comparison theorem(Th2.6)
- crystalline theta objectのhigher p-curvatureは全て消えて、素体上から持ち上がる
- Griffiths Semi-transversality
- Lagrangian Galois action(Th3.4)
- Kodaira-Spencer morphismのclassical/arithmeticの場合の整合性(Cor3.6)
が述べられている。
 

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2014年1月16日木曜日

サマースクール復習その12


変形量子化と周期

Galois群は、可換体における代数方程式の根の置換による対称性から生じる。 
より高次の構造を持った代数に対する対称性からは、更に大きな群が生じることが期待される。 
そのような高次の構造を持った代数の対称性を記述することが期待される。 
数体の代数閉体として複素数体を取るとき、 
数体上定義された代数多様体上の代数的微分形式の周期、 
がそのような対称性で不変な超越的数の性質を持つことが期待される。
Q: [Ko99]におけるMotivic Galois groupの概念は、Costelloの低エネルギー有効場理論の空間に対して作用する群になるのか? 
Q: もしそうなら、自由場に対応する部分はアーベル的な性質をもつことが期待されるはずだが、 
それは例えば、CM型のアーベル多様体の周期から生成されるモチーフのような分かり易い対称性に対応するか?

formality

[Ko97]の変形量子化において、 
formalityを示す際のConfiguration spacesの組み合わせ構造に基づく構成は、 
Hochshild複体の微分写像の各項と対応していた。 
そこで使用される幾何学は、複素上半平面とその境界である実直線だった。
Q: Costelloの繰り込み処方を与えた時の量子場の理論として[CF99, CKTB2005]の場の理論を書き直すこと 
Q: 高次の代数構造に対して、上半平面のような良い空間が存在するのか? 
Q: 標数pの場合に変形量子化を妨げている要因はなにか?Fedosov変形の場合はどうか?[BK05]

Duflo写像

[CR2008]には、
Lie algebraComplex geometry
symmetric algebrasheaf of) algebra of holomorphic polyvector fields
universal enveloping algebra(sheaf of) algebra of holomorphic polydifferential operators
taking invariantstaking holomorphic sections
Chevalley-Eilenberg cohomologyDolbeault (or Cˇech) cohomology
という対応表があった。 
Lie代数gに対し、対称化写像sym:g→U(g)を用いて、 
IPBW:S(g)→U(g)が定義される。 
また、S(g), U(g)には自然なg作用があり、 
IPBWをTodd類の冪根でひねった写像により、 
S(g)g→Z(U(g))=U(g)gはベクトル空間としてだけではなく代数として同型。(CR2008 Th1.2)。 
さらに、Chevalley-Eilenberg complexを用いて、 
H∗(g,S(g))→H∗(g,U(g))は代数として同型になる。(CR2008 Th1.11)。
complex geometryにおいて、CR2008 Th3.5に類似の代数の同型がある。 
Q-spaceにおいて、CR2008 Th5.3に類似のcohomologyにおける代数の同型がある。
補足的な同型
M:U(g)-bimoduleに対して、 
H∗(g,M)→H∗(U(g),M)は同型。(CR2008 Th2.5)
有限次元Lie代数gに対し、 
HH∗(∧g∗,dC)≃HH∗(U(g)) (CR2008 Th4.10)

chiralization

Q: W代数のchiralizationを、頂点代数の言葉からfactorization algebraの言葉で言い換えること

参考文献

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