2015年2月7日土曜日

Hodge構造に関する疑問


Algebraic de Rham cohomology

algebraic de Rham cohomologyは、 
de Rham複体のhyper cohomogyとして定義される。 
従って、cohomological dimensionの2倍の次元まで消えない可能性がある。 
定義から、 
Hodge-de Rham spectral sequence 
が存在するが、(smooth properのもと)複素数体上では
  • Hodge-de Rham spectral sequenceのE1退化
  • betti cohomologyとの係数拡大による同型
  • Serre duality
  • 複素共役(無限素点でのFrobenius作用)によるHodge symmetry
がある。

conjugate spectral sequence

Hodge-de Rham spectral sequenceのE1退化を見る方法として、 
Deligne-Illusieの方法があるが、そこで使用される標数pの議論は、 
Cartier isomorphismを基礎とするものだった。 
E1退化の場合に 
conjugate spectral sequenceと呼ばれるE2退化のspectral sequenceが定まる。([Wed]Cor1.6)

Hodge構造を局所から大局へ

Hodge filtration自体は代数的に定義されるが、 
filtrationの情報を幾何的に理解しようとすると、 
比較同型定理が必要になる。 
そのためには、微分形式を積分することになり、
  • 超越的な周期を扱う良い環構造
  • 局所体上での(何らかの意味での)解析
が必要になる。
複素数体上では、 
複素1次元が実2次元というHodge-filtrationと適合する次元の対応があり、 
実数上でのより柔らかい関数空間の設定で解析を行うことが出来た。 
特に、調和形式による形式性があった。
標数pの剰余体を持つ場合、等標数と混標数とで様子が異なる。 
[Har]1.2 The Two Roles of p 
にあるように、数体上にF1が存在しないために、 
良い積が定義されない、 
ということと関係する(と思う)。
そのため、 
1. 等標数のHodge構造と混標数のHodge構造を結びつける 
2. 局所体上で定義されるHodge構造を大局体の上に拡張する 
という2つのことが、Hodge構造の数論的側面を見るためには必要になる。
1.については、[Sch]でPerfectoidとdiamondの概念により、 
混標数の場合にlocal shtukaを定義している。 
2.については、[Moc1],[Moc2]において、Hodge Arakelov theoryが展開され、
  • 複素数と実数との関係を、(非線形な)crystalで置き換える
  • F1の代わりに楕円曲線の等分点の普遍拡大への持ち上げを利用する
  • 底空間として楕円曲線のmoduliを使用する
  • etale theta functionにより比較同型を行う
という形で、Hodge構造の大局化を試みている。 
(ただし、Gaussian poleの解消のために、底空間はHodge Theaterとして抽象化される必要があり、Hodge構造の大局化はIUTTとして実現(?)される。)
以上のことから、
  • local shtukaに対してperiodに伴うタウ関数を定義できないか?
  • [Moc3]における等標数でのHodge Arakelovの議論をperfectoidで置き換える事ができないか?
  • local shtukaのタウ関数と、標数pでの楕円関数のテータ関数を自然に結びつけることが出来ないか?
  • 混標数におけるHodge Arakelovの議論をdiamondの言葉で置き換えられないか?特に、数論的基本群に対する対応を、torsorとして幾何的基本群への対応に持ちあげられないか?
といった疑問が生じる。
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2014年11月11日火曜日

サマースクール復習 その6


幾何的に定義される代数

moment mapが使用される状況

[G98]では、積(と余積)をcycleによるcorrespondenceにより定義する、という形で、
  • 単純代数群のWely群の群環
  • universal envelopping algebraのイデアルによる商
が構成されていた。 
[G98]5. Sheaf-theoretic analysis of the convolution algebra 
において、proper map μ:M→NからZ:=M×NMにより、 
H∙(Z)に積が定義される。 
Prop5.1で定数層のpushforwardから 
H∙(Z)=Ext∙(μ∗CM,μ∗CM) 
と代数の同型がある。 
そのため、層が偏屈層として解釈できる場合には、decompositionを見ることにより、 
積が詳細に理解できる場合がある。 
Nがstratificationを持つ場合でμがsemi-smallである場合が、そのような場合になる。 
(Th5.4)
Wely群の群環の場合、用いられているのは、 
Springer resolution μ:N~=T∗B→N 
で、Th6.4でμが(strictly)semi-smallであると述べられている。 
この場合、Z=M×NMはSteinberg varietyと呼ばれ、 
x∈NのGにおけるcentralizerを見ることにより、 
Nのregular semisimple部分から、Weyl群のetaleな作用が得られ(Prop9.3)、 
Prop9.1、Cor9.2によりZによるWeyl群の群環の記述が得られる。 
Th12.7の後のRemarkに同変K群などに拡張した場合の代数の構造が記述されている。

数論の場合

数論においては、l進とp進の場合それぞれに、 
上記のWeyl群のLagrangianによる幾何学的構成の類似が存在する。

l進層の特性サイクル

Weyl群の群環の場合は、Symplectic resolutionがあり、 
そこからSteinvberg varietyを構成した。 
l進層の場合は、Galois拡大が退化している状況を作り出すために、 
blow-upを用いる。(1.3,1.4の議論) 
Weyl群の場合のregular semisimpleな部分に対応するのがetale locusで、 
それをblow-upの部分まで出来る限り拡げ、亜群を構成する。 
これがSteinberg varietyの類似となるが、 
標数pの場合は、命題1.6によりfiberと分岐群が結び付けられ、 
定理1.10により、微分形式と結びつく。 
Weyl群の場合のLie環のroot分解に対応して、slope filtrationがある。 
また、Weyl群の場合は、Fourier変換により、双対性を利用し、 
かつ内積による同一視の議論ができたが、 
l進層の場合は、Radon変換を用いて双対性を利用する。(2.4)
Q: 下付き分岐群と上付き分岐群の対応を、トーラスの座標を固定して、 
secondary polytopeの議論を持ち込めないか? 
Q: Nakajima varietyのような良いmoduli空間を設定して、分岐群に対して代数を定義できないか? 
とくに、変形空間として、量子コホモロジーに対応する概念がほしい。 
(元々Springer resolutionはl進偏屈層の言葉で書かれていた) 
Q: l進層におけるsymplectic resolutionやmoment mapに対応する概念の辞書は存在するか?

Lubin-Tate

p進の場合において、etaleなfiberがconnectedな場合に退化していく代表例は、 
p-divisible groupで、その変形を記述するmoduliとしては、 
elliptic curveのp冪レベル付きのmoduliが代表的な例になる。 
退化している部分は、supersingular partであるが、 
perfectoidの言葉を用いると、inifinite levelでの議論を幾何学的に行うことが出来る(ようだ)。

Nakajima varieties

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