Berkovichの「Spectral theory and Analytic geometry over non-Archimedian fields」
には、p-adicな世界でのFredholm theoryと作用素のperturbation
についての記述があった。
http://math.berkeley.edu/~coleman/eigen/coleman-mazur.pdf
にFredholm作用素とそのスペクトル曲線を利用して、
Galois表現とその変形をGL2上に実現している。
ここでスペクトル曲線に対応するリーマン面もどきは、
種数無限大で連結成分の個数も大きなものがでてくるようだ。
もともと、
フックス群に関する重み2の保型形式はリーマン面の変形と関係していたから、
保型形式の族に対応してrigid analytic空間の変形が関係しそうなものだが、
この辺りはきちんと定式化されているのだろうか？
14 件のコメント:
さて、前回は場にそぐわぬ投稿をしてしまい、ご迷惑をおかけしました。
･ﾟ･(●´Д｀●)･ﾟ･ごめんよおぉ
eigencurveはまったくしらないが、このあいだのグラフの話です。
先週の研究会でD-formに詳しい某先輩に聞いたら、
「可算無限個の分岐ぐらいなら、quasi-regular D-form の枠組みでなんとかなるとおもいますよ。」
「その種の「グラフ」はロシアの一派が,"quantum graph"と称して研究してる（のと似てそうなの）ので、調べてみたらなんかあるかも。ただ動機が不明なので、プロ筋の評価は高くないみたい。」
まあ、貴殿は数論の知識が背景にあるので、また違うとはおもいますが。
ただ、名前は忘れたらしく、Teplyaevという人は覚えているけど、あとは忘れたらしいです。
>「可算無限個の分岐ぐらいなら、quasi-regular D-form の枠組みでなんとかなるとおもいますよ。」
いい話ですね。
TMKに、
Noncommutative Riemannian Geometry and Diffusion on Ultrametric Cantor Sets
http://arxiv.org/abs/0802.1336
という論文が紹介されていて、
ちょっと興味を持っています。
THX
とりあえず印刷してみました。みたことない路線ですな。確かにおもしろそうだね、こりゃ。
http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~hino/file/yokou0808.pdf
をパラパラと覗いてみたのですが、
Dirichlet形式はやっぱり学んでおいたほうがよいのでしょうか？
参考書は福島さんの紀伊国屋本でしょうか？
>Dirichlet形式はやっぱり学んでおいた
>ほうがよいのでしょうか？
そりゃ、知らないよりは知っていたほうがいいけれど、何事も自分の時間や資源の配分をどうするかという問題だからねえ。
D-formは極端に抽象的なので、あらかじめ内容をしらないと、難しい本をいきなり読むのは困難です。
リンクのサーベイは初めてみるが、かなり親切な感じでいい感じに見えます。こういうので、大筋だけつかんで、もし必要が生じたら、詳しく調べだしたらいいんじゃないかと思います。
はっきり言って、大部分の確率論学者もべつに詳細まで知っているわけではないからね。数学ができることで有名な、某大先生も「なんで、D-formからmarkov procができるのかという証明はシラン。あの定理は使えればいいんだよ」とおっしゃってましたので、まあ、軽い気持ちでやってください。
http://math.cm.is.nagoya-u.ac.jp/~hirao/matsumoto/
このシンポにある、KGM先生のタイトルは、どう思う？
このあいだ、教えていただいた論文とかなりキーワードがかぶっていますが、、、
でもKGMさんは作用素代数とかまでは、知らないだろうしな。うーーむ。
>参考書は福島さんの紀伊国屋本でしょう
>か？
たしかに、それはいい本だと思います。
あたらしい、TKDさんとの共著（培風館）は、ワンランク上の難しさといった印象をうけます。
KGM先生の話は、タイトルからすると、
件の論文と関係が在りそうですね。
というか、件の論文での、スペクトルトリプルは、作用素環の部分より、
標準的なディラック作用素から議論を導くための土台としての部分が重要でしょう。
私としては、
p進数とカントール集合に関しては、
Berkovich空間として射影直線を考えて、
その中で必要な部分集合を取り出したと見て、ほぼ同義に近い感覚です。
その意味で、KGM先生の話がtreeをどのように料理してDirichletFormに持っていくのは、興味あります。
愛媛、行かれるのでしたら、後日内容をご教授いただけると幸いです。
See here
http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/preprints.html
ehimeは行きますよ。ごくシンプルな質問なら、わかりやすくまとめてくれたら、代理で質問できるかも、です
返答遅くなってすいません。
KGMのpaperの最初のほうを眺めてみましたが、
件の論文が引用されていますね。
(あと引用文献にあったのですが、Lyonsもnetworkに関して論文書いているんですね。)
>ごくシンプルな質問なら、わかりやすくまとめてくれたら、代理で質問できるかも、です
ありがとうございます。
残念なことに、今、これ聞きたい、っていう形にまとまっていません。
あらら、
Lyons、ちょっとみてみたらTerryではなかったですね。
もしかして、Lyonsって苗字はたくさんあるんでしょうか？
(代数における斉藤のようなもの？)
Russel Lyons と Terry Lyonsと有名人が二人います。 この名前は西洋では多いんじゃないかな？フランス風だと、Lionsだろ、きっと。有名なPDEの一家がいるよね。
KMG論文はできがいい気がするし、なにより、Cantor集合的ななにかに（というより、わかりやすい集合のMartin Boundaryとしてあらわれる集合．）、かなり統一的にD-formを作る処方箋をあたえてりう気がする。すくなくとも、Pearsonたちの場合は完全に含んでいるそうです。
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p進数とカントール集合に関しては、
Berkovich空間として射影直線を考えて、
その中で必要な部分集合を取り出したと見て、ほぼ同義に近い感覚です。
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ということなら、なにかヒントになるのかな？実際、KGMさんの論文では,
p進の論文が１つ引用されていたが、、、
treeのMartin Boundaryとして、Cantor setがでてきたとすると、そもそも、数論の場合では、何がtreeにあたるものなんだ？
その集合上で、わかりやすい解析(or 確率論)がないと、この論法はつかえないか、、、うーーん、私にはわからん。
>treeのMartin Boundaryとして、Cantor setがでてきたとすると、そもそも、数論の場合では、何がtreeにあたるものなんだ？
数論的な発想で行くと、
あるnon-archmedian体K上の解析的多様体があったとして、
そのK-valued pointがMartin Boundaryとなると思います。
treeの場合で行くと、
Q_p上の射影直線を考えて、
そのBerkovich空間の端っこに、
Q_p value pointが現れます。
これらはp+1個に分岐する無限tree(この場合は、Bruhat-Tits buildingといったほうが解りやすいでしょう)によって、
局所弧状連結に繋がります。
Berkovich空間としては、さらに境界として、いわゆるtype4の点があるわけですが、
解析的にはそれは無視される、ということになるのでしょう。
ともかく、KGM論文をちゃんと理解したほうが吉、
ということが理解できました。
情報助かりました。
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