binary treeに対応するcantor setの対応

[1]Dirichlet forms and associated heat kernels on the Cantor set induced by random walks on trees
(http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/tree0.pdf)
[2]An introduction to Berkovich analytic spaces andnon-archimedean potential theory on curves
(http://math.arizona.edu/~swc/aws/07/BakerNotesMarch21.pdf)
について、関連することを記述する。
図を参照するために、
[3]Modular Index Invariants of Mumford Curves
(http://arxiv.org/abs/0905.3157)
も引用する。

[1]で記述されているCantor setをMartin boundaryにもつtree、
は、Mumford curveにおけるtreeとして解釈される。
K:p-adic field
P1:project line
Γ:g個の元γ_i(i=1,.,g)で生成されるShottky group
Γ+:γ_i(i=1,.,g)で生成されるモノイド
P1において、{0,1,∞}を固定する。
(reference pointΦを指定することに対応)

Λ_Γ:Γの極限集合⊆P1(K)
Λ_Γ+:Γ+の極限集合⊆P1(O_K)
ただし、γ_iは双曲元として、∞とP1(O_K)の元を固定点に持つようにとる。

[1]におけるΣがΛ_Γ+に対応するもので、
ΦのΓ+による軌道を結んで得られるtreeが[1]におけるTとなる。

Ω_Γ=P1-Λ_Γ,
X=Ω_Γ/Γ:Mumford curve coresponding to Γ
はP1のmetric d(x,y)からinduceされるmetric d(x,y)を持つ。
ri = d(Φ, γ_i(Φ))とすると、
これはspecial fibreの逆像がB(0,1)にどのように入るかを示す量であり、
0< ri <1となる。

例として[1]8.3-8.8におけるself-similar binary treeをとる。
[3]Figure7.におけるtreeのうち、a,bが正の方向を向いているものを取り出したものが、
対応する。
0< ri <1(i=1,2)より、[1]Th8.7の仮定は満たされている。
C(x,y)はMumford curveのmetricの逆を取ることに対応する。

* Dirichlet form
P1において、Berkovich空間として、
Laplacianが定義され、それに基づいて、Dirichlet formが定義できる。
(ただし、[2]におけるCPAもしくはBVDと関数空間はかなり狭く設定しておく。)
Laplacianは方向微分に対応しているから、d(x,y)=c(x,y)^(-1)と解釈して、
Tが正の方向のみを取り出していることに注意すると、
[1]p.3 Ε_w(f,f)の式が対応する。
また[1]におけるresistance metric R*はBerkovich空間としてのmetric dに対応し、
g_*(x,y)は、
[2](1.6.5) fundamental potential kernel relative to zに(第2,3項の補正がつくが)
対応する。
ここで、後者が3項からなるのは、P1におけるrational functionのdegreeが0でなければならないため、
Δ(f) = δ_y - δ_zと湧き出しと吸い込みを定式化に必要としているためである。
(Mumford curveXにおいては、automorphic functionがテータ関数を用いて具体的に構成できるために、直接g(y) = g_*(x,y)を構成できる、と思う)

* [1]におけるmeasure νの構成について
Λ_Γ+の位相の開基が、
Tの辺eに対してV(e)={eを通って極限に行く点}
により定まるため、積分は[3](7.33)と同様にして定義される。