乗法モノイド

* Witt環
個人的にWitt環について解りやすい説明は、
ChaiのCartier-Dieudonne theoryのnoteで、
その中では、
universal Witt vectorsのなすgroupはGmのformal completionにおけるformal curves全体、
という視点で説明がされている。
w(1-aT)+w(1-bT)=w((1-aT)(1-bT))
w(1-aT)*w(1-bT)=w(1-a*bT)
を満たすような環構造を求めると、(少々複雑な)積の定義式が出てきて、
p-partをみると、よく知られたWitt環の定義式となる。

* adele class group
QのBost-Connes systemは、Q/Zをmonoid Nで割る、という形で導出される。
adeleの言葉に直すと、adele環を(Q-{0})*unitで割る、という形になる。
idele群を割ればclass groupが出てくるが、adele環を割っているので、
幾何的にはnon-Hausdorfな状況となる。
嫌な点は0であって、これが特異点となっている。

* 乗法モノイド
Characteristic one, entropy and the absolute point
(http://arxiv.org/abs/0911.3537)
では、乗法モノイドを用いて、Mo-schemeを定義している。
また一元体上のWitt環をmax plus代数を用いて定義している。

* tropical幾何
tropical幾何を一元体上のWitt環の上の幾何、とみなすことにより、
有限グラフの幾何をspecial fibreとして、
tropical curveを一元体上のgeneric fibreと解釈できるはず。
ここで、Crystalline的な話ができると面白い。
また、cantor集合を一元体上の幾何に埋め込んで解釈できれば面白い。