複素平面内の(実一次元)analytic curveからτ関数が作られるが、
これは、τ=exp(F)なるいわゆるプレポテンシャルを与えていることになる。
疑問として、
F_{g}なる高次の量が定義できるかどうか？
というものがでてくる。
まずは、コンパクトリーマン面の場合についてみる必要がある。
Geometrical interpretation of the topological recursion, and integrable string theories
(http://arxiv.org/abs/0911.5096)
において、コンパクトリーマン面の場合では、
スペクトル曲線Sと{F_{g}}
から、Jacobian内に値を持つ写像を数え上げる対応を作っている。
CFT and topological recursion
(http://arxiv.org/abs/1006.2028)
においては、
CFTの側からLarge N展開をみている。
30 件のコメント:
p-adic を愛するあなたに耳寄りな情報です。
p-adic Differential Equations
Kiran S. Kedlaya
http://www.amazon.co.jp/Differential-Equations-Cambridge-Advanced-Mathematics/dp/0521768799
Theory of p-adic Distributions: Linear and Nonlinear Models
S. Albeverio, A. Yu Khrennikov, V. M. Shelkovich
http://www.amazon.co.jp/gp/product/0521148561/ref=pd_lpo_k2_dp_sr_3?pf_rd_p=466449256&pf_rd_s=lpo-top-stripe&pf_rd_t=201&pf_rd_i=0521768799&pf_rd_m=AN1VRQENFRJN5&pf_rd_r=0XX94E759MQHP64XSYEX
>p-adic Differential Equations
>Kiran S. Kedlaya
情報ありがとうございます。
http://math.mit.edu/~kedlaya/papers/pde.pdf
ですね。
実は、http://aka0.blogspot.com/2009/04/httpwww-math.html
でひっそりとリンクしておいたものです。
iPadを予約したので、これからは大きなPDFでも気にせずに喫茶店で読めそうです。
>Theory of p-adic Distributions: Linear and Nonlinear Models
こっちは、amazon.comで目次を見たけど、
買う価値はなさそうです。
ボーナスを当てにして、
- Multidimensional Stochastic Processes as Rough Paths
(Friz,Victoir)
- Foundations of P-Adic Teichmuller Theory
(Shinich Mochizuki)
を注文済みです。
あと、
お買い得そうなので、出たら買おうと思っているのは、
http://www.amazon.co.jp/Families-Surfaces-Weil-petersson-Conference-Mathematics/dp/0821849867/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=english-books&qid=1277910326&sr=1-1
です。
Kedlaya, Wolpert, Mochizuki,....ふむ、いかにもあなたの趣味にあいそうですね。わかります。
しかーし（笑）、F&V、、、、ここに進出してくるとは、、、まさかワタスをからかっておるんじゃ（笑）
ところで、次の論文がでて、キーワードが、"Feynman diagram, BHPZ renormalization"とかなってるんだけど、aka氏はそういうのも知ってるの？
新しい方向性なんで、いますぐならアイディアだけで計算なしのゴッツァン論文の可能性が、、、
A renormalized r**** p*** over fractional Brownian motion, Jeremie Unterberger
http://front.math.ucdavis.edu/1006.5604
iPadは私も少々興味があるんですけれど、現実問題として本当に読書に適しておるんでしょうか？つまり、字がちいさすぎたりしない？
Hey man, how about this?
第３回 秋葉原微分幾何セミナー
日程 ： ２０１０年７月１０日（土）
場所 ： 東京都千代田区外神田1-18-13
秋葉原ダイビル12階 首都大学東京
「秋葉原サテライトキャンパス会議室Ｄ」
講演者 ： 橋本 義武 氏 （東京都市大学知識工学部）
講演題目 ： 「共形場理論の幾何」
リンク張り忘れた。
http://tmugs.math.metro-u.ac.jp/g-akihabara/100710.html
あとはあなた好みの女性でせ。しかも、お手頃価格。
http://www.amazon.co.jp/Feynman-Motives-Matilde-Marcolli/dp/9814304484/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=english-books&qid=1278311215&sr=8-1
>しかーし（笑）、F&V、、、、ここに進出してくるとは、、、まさかワタスをからかっておるんじゃ（笑）
不仲でなければ、バンガロールで、少なくとも一冊は、日本のアマチュアが買ってたよ、とお伝えください。
(nutshell p10 Figure2のR^dはR^2の誤植ね。)
7月8月は暑いし、だらだらとなるので、
PartI,Ⅱをパラパラと読もうかと。
PartⅢ、Ⅳはもうちょっと後で。
知りたいことは、
1. Heisenberg群の表現とテータ関数
(MalliavinのJapan.J.Math(2008)論文にはVirasoroはでるけど、Fock表現は出てこないのは何故？)
2. Kapranovの以前の論文との関係
3. くりこみのはなし
なので、教えていただいた論文も興味あります。
>iPadは私も少々興味があるんですけれど、現実問題として本当に読書に適しておるんでしょうか？つまり、字がちいさすぎたりしない？
ふむ、老眼を気にするお年頃なのですね。わかります。
しかーし、
注文して2週間以上たつのに、まだ入荷しておりません。
その間、一切連絡なし。
おかげで週末は量販店の係りのお姉さんに確認に行く必要があります。
> Hey man, how about this?
I think it takes at least 3-days to explain items in HP
even if one assumes basic knowledge about classical field theory and QFT.
ex.
The book "Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians "
has below lectures
- Lectures on conformal field theory by K. Gawedzki
explaining basic of CFT
- Perturbative string theory by E. D'Hoker
explaining world sheets and moduli of curves
- Notes on 2d conformal field theory and string theory by D. Gaitsgory
explaining chiral algebra using D-module
>あとはあなた好みの女性でせ。
http://www.its.caltech.edu/~matilde/
好みかと問われると、うーん。
http://search.intelius.com/Maryam-Mirzakhani
のほうがいいかな。
あと、ある情報源から、パスポートなしでも何とかなったという武勇伝を聞いたので、
http://www.kahoku.co.jp/spe/spe179/hakase/hakasetop.htm
とか。
きっと、実物見ると、想像と違うんでしょうね。
テクニカルエラーか？
妙だな。１０コメントと表示されているのに、どうがんばっても実際には４つしか表示されないぞ。６つぶん削除されたわけでもなさそうだけど、、、、昨日の晩、自宅では１０個全部よめたんですが。
1.について。
表現論についてはまったく無知ですのでよくわかりません。
特にテータ関数とかについては（５/１２のエントリーみたいなことですか？）
>MalliavinのJapan.J.Math(2008)論文にはVirasoroはでるけど、
>Fock表現は出てこないのは何故？
これも、確かなことはいえないけれど、フォックは当たり前だと思っているという
理由で先端開発のみに興味あるＭ先生としては, Out of 眼中なのかな？
とりあえず、"White noise + Fock""Brownian motion +Fock"
などで検索すると相当たくさんヒットします。
ちょっとやってみてね。私はそういう表現論的言葉遣いがだめなんすわ。
2.について
まず、パスのsignitureの話から始めよう。
原点から出発する piecewise C^1級のパスがあったとして、
それから、
[0,1]区間をn!等分した単体上で、n重積分をつくる(n=1,2,3,,,,)
これをパスのsignitureといいます。
時間パラメータの付け替えと、同じ場所を無駄に往復する場合は
同じsignitureを与えるのは自明だが、これを無視すれば、
パスからsignitureは一意に決まるのだろうか？
これはK.T.Chenの昔から知られていたようで、答えはYes.
最近, Terry Lyons御大自らHamblyとの共著で、これを拡張している。
（たぶん、有界変動なパスの場合だったと思う。）
Terryのwebsiteかどっかにあると思う。
2.について（続）
するとKapranovの議論はランダムなパスがあったときに
（同値だが、パス空間に確率測度をあたえたときに）、
signitureの期待値をとったものを考えて、それを
non-linear Fourier trans.と呼んでいるように見える。
（まあ、非可換多項式を使って定式化してるけど、
ようするにそういうことだよね？）
それで、ブラウン運動の場合に、パス積分の意味をストラトだとして、
えらくおおげさな枠組みで計算してるわけです。
（実はそんなことしないでも、簡単に計算できるはずだが、、、
まあ、ご愛敬ということで。別のプロセスの場合に使いまわせるかもしれないし。）
それで、その場合は非可換ガウスがnon-linear Fourier trans.として出てくると言ってる。
彼の予想では、「ガウス測度なので、NLFTがガウス多項式」ということらしいけれど、
あやしいね。私には「ウィーナー測度なのでNLFTがガウス多項式」としか見えなかったが、、、
signitureの一意性の問題はこの場合は、
NLFTの（なんらかも意味での）単射性の問題になるわけだ。
2.について（続続）
この定式化はおそらく簡単に「ラフ化」可能。
roughness pを2と3の間とすると、第１、第2レベルパスだけですが、
任意のラフパスは自動的にレベル3,4,5,,,,を一意的に生成しますから、
signitureに当たるものはあるわけ。
すると、geometric rough path space上の測度に対して、
NLFTを定義できそうですな。多分。
たとえば、fractional Bm というガウス過程を持ち上げた測度に対して、
NLFTが非可換ガウスにならないことを計算したら、Kapranov予想（笑）を
打倒したことになりますな。具体的にどう計算すればいいのかはまだ考えてないけど。
>テクニカルエラーか？
なんか変ですね。
でも、消えているのは、匿名さんの、
リンク提示のものだけかな？
ここでの、テリーの講演のタイトルは
RP--A story in non-commutative analysis
http://mathsoc.jp/meeting/msjsi08/contents/MSJ-SI2008_abstract.pdf
なので、aka氏の興味の方向性は間違ってなさそうだよ。だれもこの方向には進んでいないから、いまならゴッツァン論文の可能性が、、、、（笑）
少なくとも, この業界にKapranov論文に気づいている人はいないから、あんたがなんか考えたら、ちょっとしたことでもゴッツァンだよ。マジ。
３くりこみについては全くの無知。わたすに教えてください。先週、中西のぼるの「パリティ物理学シリーズ；ファインマンダイアグラム」を読んだら、まったくわからなかった。
>最近, Terry Lyons御大自らHamblyとの共著で、これを拡張している。
>（たぶん、有界変動なパスの場合だったと思う。）
>Terryのwebsiteかどっかにあると思う。
情報ありがとうございます。
http://arxiv.org/abs/math/0507536
ですね。
これは面白そうですね。
treeと双曲幾何が出てくるところがなんとも、楽しそう。
kapranovの、
Vertex algebras and the formal loop space(http://arxiv.org/abs/math/0107143)
では、
- Brown運動は貼り合わせが効かない。
- 同様に、loop spaceも局所的に作って貼り合わせることができない。
- でも、nilpotent thickeningを考えると、貼り合わせ可能。
ということで、formal loop spaceを導入しています。
この代数幾何的側面とrough pathの解析的側面が補完しあえば面白いですね。
テータ関数に関して、
ちょっと論理的ではないですが、
次のようなことを理解したいな、
というのが前提にあります。
餃子のタレにラー油を混ぜると、
ラー油が分離して境界は複数のJordan曲線。
可算個のラー油の連結領域が、最終的に大きな一つのラー油の固まりになるような、
時間発展を考えると、餃子のタレが各時刻に作る境界付リーマン面の時間発展、すなわち、種数をまたいだTeichmuller空間上のpathとなる。
全然うまくまとまらないのですが、
- 以前教えていただいたVasilievさんの
Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw Cells
(Gustafsson,Vasiliev)
で、Loewner的な話があり、
- Gaussian random polynomials and
analytic functions
(http://mathnt.mat.jhu.edu/zelditch/Talks/AIM.pdf)
で、解析関数の係数が確率変数の場合に、
Bergman核、Szego核の話があります。
簡単な場合は計算できて、
Random行列の平衡測度の話と関連づきます。
直線束上の話と見ると、
Quillen計量の話と繋がるはずですから、
自然にテータ関数と関連づくはずです。
一方、Nag-SullivanのH^1/2では、
自然にSymplectic structureがはいっているので、Heisenberg群自体は作用します。
その表現を知りたくなるわけですが、
問題は、H^1/2は、locally compact群ではないので、
Stone-vonNeumannの定理(表現の既約性)
がよくわかりません。
また、周期行列Tが有限の場合は、
テータ関数は、行列要素として、
と簡明に表されるわけですが、
同様のことを無限種数でしようとすると、
Fock空間があるのでf_{T}は定義できるのですが、
e_{Z}、すなわちLattice擬平行不変なベクトルが定まるかどうか？
という話が出てきます。
McKean-Troubovitzでは、2乗可積分の条件でLatticeを定義していたのですが、
これがH^1/2におけるLatticeとできるかどうか？
Kasparovの「あの論文」ではなく、氏の一連の仕事のことでしたか。上に書いてあるやつは読んでいませんでした。今みてみたが、代数アレルギーのワタスはギブアップ。
昔、多様体上のRPってなんぞや？と思っていたころ、pathのgroupoidって関係あるんか？と疑問におもい。Kasparovの別の論文"Lie algebroid of paths..."を見たのは覚えている。うーーん、接続と組にして考えるのかぁ、、、なんて思いましたが、多様体上のRPってなんだかはまだわかりません。
theta関数うんぬんについては、今度自主ゼミを主催してください。（ビッグクランチよりまえに、、、）
Info:
http://mathsoc.jp/publication/memoirs.html
Armen Sergeev Kähler geometry of loop spaces，2010，212p
税込価格3,280円（送料 290円）
本書は，重要な三種のカテゴリーの無限次元ケーラー多様体を扱う．即ち，第一にコンパクトリー群のループ空間，第二にループ空間の複素構造のなすタイヒミュラー空間，そして第三にヒルベルト空間のグラースマン多様体である．これ等の多様体は，それぞれ豊かなケーラー幾何を備えており，本書の第一部で扱われる．これ等は，それぞれ対応する有限次元多様体のカテゴリーにおける普遍対象とも考えられる．
一方これ等の多様体は，弦理論と密に関係している．この観点からの興味を動機として，第二部において幾何学的量子化について有限次元ケーラー多様体の幾何学的量子化の入門的概要と共に述べる．
本書では，中の一章を無限次元Frechet多様体及びFrechetリー群の基本概念の入門に当て，前述の三つのカテゴリーの無限次元多様体を念頭に置いた無限次元ケーラー複素多様体への分かりやすい入門書ともなっている．無限次元複素多様体について研究する数学者および弦理論に関係する物理学者にとっても興味深い著作であろう．
>http://mathsoc.jp/publication/memoirs.html
>Armen Sergeev Kähler geometry of loop spaces，2010，212p
>税込価格3,280円（送料 290円）
http://ir.nul.nagoya-u.ac.jp/dspace/bitstream/2237/12240/1/geoquant.pdf
ですね。
さっそくipadにいれました。
明日からの夏休みの楽しみが増えました。
情報、ありがとうございました。
ちょうど知りたいと思っていたところが、
詳しく書かれているようで、
助かります。
安価ですので書籍でもほしいです。
MSJは会員ではないのですが、
この本を買うには、一般書店で注文すればよいでしょうか？
ほい。
http://mathsoc.jp/publication/buymemoirs.html
>ほい。
ども。
Info2;
Surveys in Differential Geometry : Geometry of Riemann Surfaces and Their Moduli Spaces
Ji, Lizhen (EDT) / Wolpert, Scott A. (EDT) / Yau, Shing-Thung (EDT)
https://bookwebpro.kinokuniya.co.jp/booksea.cgi?ISBN=157146140X
情報どうも。
Stability phenomena in the topology of moduli spaces
http://arxiv.org/abs/0908.1938
The universal Whitham hierarchy and the geometry of the moduli space of pointed Riemann surfaces
http://arxiv.org/abs/0810.2139
Recent Development on the Geometry of the Teichmuller and Moduli Spaces of Riemann Surfaces and Polarized Calabi-Yau Manifolds
http://arxiv.org/abs/0912.5471
Geometry of Teichmuller space with the Teichmuller metric
http://www.math.uchicago.edu/~masur/papers.html
THE UNIVERSAL PROPERTIES OF TEICHMÄULLER SPACES
http://www.warwick.ac.uk/~masfc/MS-survey.pdf
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