雑多な疑問

1. S^1^->S^3->S^2
KdVをループ空間からみると、meromorphic solutions of KdVは、
ΩU(2)->ΩS^2でパラメトライズされる。(Segal Integrable systems and inverse scattering p113)
これは、Derived alagebraic geometryの言葉でHopf fibrationとして表されるのだろうか？
ex. Loop Spaces and Connections(http://arxiv.org/abs/1002.3636)

2. elliptic KdVに対応するprobablity measureの具体形は何か？
refrectionless potentialに対応するprobablity measureとして、
n-solitonの場合は対応するOU processが具体的に構築されている。
n-solitonはcurveとしては、n点を単純特異点として張り合わせた有理曲線で、
一般ヤコビアンは(C*)^nであって、軌道の表現とグラスマン内の閉空間の表現が簡単にできた。
なので、それを変形してみたくなる。
そのままでは駄目なので、周期ポテンシャルとして変形をする必要がある。

ポテンシャルのほうで見れば、有限バンドが一つあって、一点が閉区間に伸びる変形であって、
curveは楕円曲線になる。
ポテンシャルの具体形は、当然ペー関数を極を持たないようにずらした形でかかれている。
実数上定義されているということから係数およびJ-invariantも制限されているはずで、
対応するWeyl関数と、それをHerglotz関数としてパラメトライズする測度を具体的に書き下す必要がある。
(やればできるはずなので、多分どこかですでに計算されていると思われる。)
Lyapunov spectrum of square-tiled cyclic covers
(http://arxiv.org/abs/1007.5330)
と何か関係付けられないか？

3. pathの持ち上げとガロア群の持ち上げの類似
不分岐拡大において、係数体のガロア群の作用を持ち上げることができる。
これと、1-variation pathの持ち上げを類似のものと見ると、
Lyons-liftは分岐拡大の類似とみなせる。
B_dRは、p冪で射影極限を作っていたが、p冪を積分に置き換えると、
Lyons-liftは、反復積分で射影極限を作って(非可換)環を作り、その代数を見ている、
ということになる。
p進Hodgeと類似の構成を辿って、Witt環に対応するもの、商体に対応するもの、
が存在するかどうか?が気になる。