* On the arithmetic of the BC-system
(http://arxiv.org/abs/1103.4672)
では、
BC系の話を、Witt環とからめている。
KMS条件は、C*環でのformulationでは、
実時間での条件になるが、(境界値を与えた正則関数の話)
p進整数環での条件として定式化し直している。
* 連続極限
イジング模型にせよ、ランダムウォークにせよ、
連続極限を取るときは、実素点での距離に関する連続極限を取っている。
KMS条件にでてくるのは、実軸が時間で、虚軸が温度であったが、
それをp進素点に関する距離で考える、というのは、
時間、空間、温度、のどれに関しての話と見なせばいいのだろうか？
25 件のコメント:
例の「遺作」についてのえらくわかりやすいまとめ。マンフォードの仕事とはつながりができるんでしょうか？
私の知り合いで「Jordan curve全体の集合の上で、ポテンシャル論みたいのがほしい。」とおっしゃっている人がいたけど、それって我々の言葉でいえば、Dirichlet formだよね。測度はこれでできたので、あとは微分構造と、そのgradが閉作用素になるかどうかだな。（これは結局、部分積分公式がつくれるかどうかにかかってくる。）
しかし、ポテンシャル論みたいのがあるとなんでいいんだ？
++++
Brownian measures on Jordan-Virasoro curves associated to the Weil-Petersson metric
math.u-bourgogne.fr/ProbaGeo/talk_thalmaier.pdf
情報ありがとうございました。
>しかし、ポテンシャル論みたいのがあるとなんでいいんだ？
その上で複素幾何が展開できるからではないでしょうか？
と素朴に考えています。
例えば、ワイルのリーマン面やグレイの本でも、
複素関数の存在は、その上のポテンシャル論から
調和関数の存在を言ってますよね。
(と、これは言うまでもないことでした)
universal Teichmuler空間の上の
univrsal cuveの性質をみるのに、
ポテンシャル論を使って、
軌道により空間を分割してcriticalな点でのfiberをみるとか、
そういった感じになるんでしょうか。
私としては、
有限種数から種数無限大のリーマン面をつなぐ族
が、作れて、それが全部代数体上定義できる、
とかあると嬉しいですね、
THX
ワタスはリーマン面にとんと無知なもんで、参考になりました。
Info:
http://www.japan-acad.go.jp/japanese/news/2011/041201.html
>http://www.japan-acad.go.jp/japanese/news/2011/041201.html
おめでとうございます。
第一線の方が頑張ってくださるおかげで、
素人が無邪気に楽しむことができます。
これからのご活躍を祈念いたします。
ちょっとwebでみつけて、
RANDOM WALKS ON LIE GROUPS
(http://www.math.u-psud.fr/~breuilla/part0gb.pdf)
をぱらぱらとながめています。(ちゃんと読んでないです)
遺作のDiff(S^1)の場合は、
代数的には、一変数関数体の完備化F((t))により、
Aut(F((t))と書かれるind schemeととらえられるものを、
解析的にみている、と理解しています。
なので、そこまで行かずに、
上記のLie群の場合に、そこにdenseに入ってくる空間の上のrandom walkとLie群上のBrownian motionの関係が気になります。
たとえば、GL(n)が与えられた時に、
その実Lie群の上のBrownian motionと、
整数値からなる離散群の上のRandom walkは、
折れ線近似のような道具で常に結びつくんでしょうか？
もっというと、
Coarse structure(http://en.wikipedia.org/wiki/Coarse_structure)
は、Brownian motionの観点からは、同一視できる空間になるんでしょうか？
大偏差原理の場合には、
exponentially equivalentという概念の元で空間を同一視できましたが(Demobo-Zeitouni 4.2.2)、
Brownian motionの元で空間を同一視するのは、
どのような概念が適当なのでしょうか？
まったく読んでないけど、こういうの趣味？
Spanning forests and the vector bundle laplacian, Richard Kenyon
http://arxiv.org/abs/1001.4028
or
http://www.imstat.org/aop/future_papers.htm
mfd上のRWはもちろんいろいろあるけれど、定義の流儀もいろいろです。というのは、「折れ線」が何かはよくわからんので。「折れ測地線」は一意にはきまらんかもしれんし。
なんらかの意味で定義できて、BMに収束する、という類いの定理はいろいろあるはずだけどね。
たとえば、上のリンクにある
Convergence of time-inhomogeneous geodesic random walks and its application to coupling methods,
K. K*w*d* 氏
なんかの文献表は参考になるかもです。Time-dependent な場合だけど、これ以前にtime-indepな場合が当然あるはずで、、
リー群の場合に格子を作っても、
格子をどう折れ線で結ぶのか、格子を細かくしていくとはどういうことか、リー群上の計量を決めないとラプラシアンが決まらないが、それは格子の図形的性質とマッチしているか、などなどの問題がありますな。そういった論文があるかないかは知りません． さがせばありそうなもんですが、正直いって知りません。
Coarse Geoに使ったという話は聞いたことがないです。その種類の幾何にはあなたは興味ないと思っていたけど、誤解ですたか。
>Spanning forests and the vector bundle laplacian, Richard Kenyon
これ、ぱっとみすごく面白そうですね。
arXiv:1105.4158
Conformal invariance of loops in the double-dimer model
arXiv:0910.3129
Lectures on Dimers
とあわせてみてみたいです。
イジング模型の場合、自由エネルギーが楕円曲線の周期として書けましたが、それはMahler measureとしても書けます。
tropical幾何とのつながりが出てくる訳ですが、
dimerの場合は、ものすごく相性が良さそうですね。
SL(2) bundleからは自然に、spectral curveとの関係づけが出てきそうですから、
discreteなGreen関数とリーマン面のGreen関数、
およびトーラス埋め込みからくるBerkovich空間への持ち上げと、そのうえのポテンシャルから決まるGreen関数、
といったものの関係づけ、
さらにはZeldichの大偏差原理との関係、
といろんなものを関係づけて理解できたら楽しいです。
>Coarse Geoに使ったという話は聞いたことがないです。その種類の幾何にはあなたは興味ないと思っていたけど、誤解ですたか。
いろいろ情報ありがとうございます。
大偏差原理のexponential equivalenceの概念を学んで興味を持つようになりました。
KenyonとかSmirnovのdiscreteリーマン面の極限の正則性は、2次元ということと代数的な話ということから、
かなり制約が強い、ということですね。
一般の実Lie群やリーマン多様体では、制約が弱すぎる、
と。
背後に固い代数構造があって、そこからはみ出さなければ、確率論的操作もうまく行く、ということであれば、
その代数構造が何か？ということが気になります。
このへんの話、私はなんにもわかってないので、暇な時にでも、初歩的なところから書いてちょ❤
>Mahler measure
あと、これ何？日本では O合さんがやってた気がするけれど。
Info：
東京大学数理ビデオアーカイブス
*井朋之 氏 (九州大学)数理談話会 (2011年1月28日)
『確率論における共形不変性』
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/
本講演では,SLEとランダム解析関数の零点分布を、共形不変性があらわれるモデルとしてその背景や関連の結果などとあわせて紹介する
こんど東京にいったときにでもご教示ください。日本ではこの種のことを知っている人はほとんど０なので、あなたが最高の知識人かも。
それでは、おやすみなさい。
Info
数理ヴィデオアーカイブ
『確率論における共形不変性』
ttp://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/
ぐすん、騙されてました。ぜんぜん確率測度じゃないじゃない。
http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/22.shtml
および
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kazushi/proceedings/rims_kokyuroku2006_8.pdf
をみると、
有限グラフのクンマー被覆を、
1. トーラスへ埋め込んで周期写像で持ち上げる
2. 距離空間のグロモフ・ハウスドルフ極限
のどちらの観点から見るか、
という話。
1.からは、
標数0の代数閉体上のベキ級数体をとって、
その非アルキメデス付値に関するBerkovich空間、
という見方ができます。
2.の距離の極限は、semi-normをつなぐ、
というBerkovich空間の定義に自然と吸収されます。
トロピカル幾何を1元体上の幾何、とみると、
アメーバは、それをWitt環上に持ち上げたもの、
すなわちクリスタルとみなせます。
>ぐすん、騙されてました。ぜんぜん確率測度じゃないじゃない。
マーラーと言っても作曲家とは限らないし、
測度と言っても積分できる訳ではないです。
でも、
トポロジカルエントロピーとの関連はあります。
(ex. http://www.springerlink.com/content/mw6320r5x7036042/)
先のリンクでfreeなものは、
https://ueaeprints.uea.ac.uk/18590/1/mahlerentropy.pdf
Info;
Summer School 数理物理 2011
題目: 可積分系の新展開
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/mp2011.htm
>Summer School 数理物理 2011
>題目: 可積分系の新展開
情報ありがとうございます。
登録しました。
これはどういう種類のネタですか？たとえば、
箱玉系の可積分性 --- クリスタルとトロピカル幾何
とか？
>これはどういう種類のネタですか？
当然、まだ理解している訳ではないですが、
次のような先入観で聴こうと思っています。
- 箱玉系の可積分性 --- クリスタルとトロピカル幾何
可積分系が代数曲線のjacobianをgeneric fiberに持つ状況で、その整数環上のモデルを考える。
(ex. Donagi-Markmanモデル)
各標数pでのreductionにより、有限体上の可積分系ができる。
一方、いったん無限素点上に持っていって、
一元体上のreductionをみると、
それはトロピカル幾何上の可積分系になる。
トロピカル幾何上の可積分系は、
箱玉系と呼ばれる実現がある。
ここで、reductionを考える標数をパラメータq
として、とくにこれを温度と見る。
q->1ということは、絶対零度に対応するので、
q>1の時に比べて、組み合わせ的な構造が見やすくなるはず。
実際、量子群の表現においては、q->1のときに、
奇麗な基底が幾何的に構成されている。
一般にクリスタル、という単語は、
上記の意味での絶対零度における構造を温度を上げたもの、
という語感と、
specila fiberを接続付きでじわじわと回りに広げていく、
いわばマルコフ過程的な語感と、
二つがあるが、
可積分系の文脈では前者。
では両方につながりがあるのか？
というのが、私の疑問。
- Ding-Iohara代数， Macdonald 関数とAGT予想
- 4次元ゲージ理論と2次元共形場理論の不思議な関係
この二つは、
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~nakajima/TeX/daisuugun.pdf
のような
代数曲面上のヒルベルトスキームの話と、
quiverの話が絡んでくるようです。
Macdonald多項式の定義とヒルベルトスキームとの関係については、
http://math.berkeley.edu/~mhaiman/ftp/seattle-05/lectures.pdf
- 共形場理論と団代数
段代数は、quiverのmutationから抽象化された概念。
macdonald多項式が対称多項式、すなわち、対称群の表現のq-変形として得られ、そこにtotal positibityがあった。
量子群の結晶基底のLustzigによる構成から、
total positibityの重要性が抽象化され、
(ex. http://www.math.lsa.umich.edu/~fomin/eidma.html
およびそのリンクにある、
http://www.math.lsa.umich.edu/~fomin/Papers/lewtp.ps)
その背後にある代数構造が段代数。
２つ目のリンクにあるように共形普遍性と絡んでくる。
Info: 残念ながら平日ですが、、、
http://sites.google.com/site/infiniteanalysis2011/home
Infinite Analysis 11
~ Frontier of Integrability ~
July 25 - 29, 2011
The University of Tokyo, Japan
>残念ながら平日ですが
情報ありがとうございます。
平日なので、行けそうにないです。
サマースクールの２日だけで、
上司に顰蹙買いそうです。
なんだかなぁ。
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