middle convolution

Painlev ́e equations and the middle convolution
(http://arxiv.org/abs/math/0605384v1)
summary of DR
KATZ’S MIDDLE CONVOLUTION ALGORITHM(http://arxiv.org/abs/math/0610526v2)

アファイン直線上およびGL(1)で、加法と乗法それぞれに対して不変な局所系は、定数層およびKummer層に対応する。
これらを元にして、additive convolution,middle convolutionを行うことにより、rigid局所系がすべて得られる、というのが、
Rigid Local system(Katz)
で示されたのだった。
証明は偏屈層を用いた構成と、Laumonの有限体上のアファイン直線のフーリエ変換に対するstationary phaseの方法に依存していた。

これらは線形代数として記述できることが、Dettweiler-Reiterによって示された。

一方で、局所系の特異点を除いたpunctured Riemann surfaceの基本群の表現について、
Arithmetic harmonic analysis on character and quiver varieties II
(http://arxiv.org/abs/1109.5202v1)
で、
Characteristic varietyのmixed Hodge多項式の母関数は、特別な場合には、SL(2,Z)のEisenstein級数の母関数と関係がつくことが示されている。

Classification of Fuchsian systems and their connection problem
(http://arxiv.org/abs/0811.2916v2)
には、root系の性質とrigid local systemを与える分割の辞書がある。

Hyperbolic Structures and Root Systems
(http://www.math.ru.nl/~heckman/Hyperbolicstructures.pdf)

ガウスの超幾何関数は、一次元トーラスの一点で分岐する2次被覆面上に持ち上がる。
超幾何関数の２つの線形独立な解により、射影空間への有理写像が与えられるが、
これがガウスの超幾何関数の特異点{0,1,¥infty}を除いた空間の射影埋め込みを与えていて、
定義域、値域のパラメータのSchwarz微分と、元の方程式の正規化の係数が対応していた。
これをn次元トーラスの2次被覆空間上の関数に拡張すると、
トーリック多様体から因子を除いた開多様体の射影空間への写像を与える。

アファインroot系
超幾何関数
基本群のCharacteristic variety
Eisenstein series
モノドロミーの変形
が密接に関わり合っている。