Persistent homology

Topology and Data
http://comptop.stanford.edu/u/preprints/topologyAndData.pdf
では、点群に対して、単体的複体を構成し、
persistent cyclesを計算している。
これは、離散的な集合から非アルキメデス的なデータを作る操作と見なすことができないだろうか？

Measuring Shape with Topology
http://arxiv.org/abs/1011.2258
では、フラクタル的な図形に対して、
persistencyを計算している。

カントール集合のような完全不連結集合に対して、
persistencyを計算すると、
cycleの生死の状況はtree構造になり、カントール集合を境界とする非アルキメデス距離空間の構造が復元される。

Euler Calculus with Applications to Signals and Sensing
http://arxiv.org/abs/1202.0275v1
整数値可構関数に対して、Euler数を計算している。
層と関数の対応を(Grothendieckの辞書はない状況だが)用いている。
Fourier-Sato変換やBessel変換といった超局所解析のおもちゃ版として、
馴染み易い。

* クラスタリングの拡張としてのpersistent homology
機械学習におけるクラスタリングは連結集合を数えていた。
persistent homologyは高次の特徴を捉えるもの。
(関連して多様体学習や計算代数統計といったキーワードがある。
趣味で学ぶほどには興味はわかないが、
プログラマとしての一般教養として知っておきたいところである。子会社勤務のIT土方としては、業務に直接の関係はないのが辛いところだ。)