複素アーベル多様体の場合、
- 普遍被覆空間の存在
- exponential mapの存在
- 可換Lie群に対応するLie環、その双対空間の生成元としての不変微分形式
- n倍写像によるisogenyの逆極限による普遍被覆空間の近似
- divisible groupの構造から、等分点の集合がdenseに存在する
- n倍写像によるisogenyの順極限、等分点集合による群構造の近似
- Hodge分解
により構造が記述されていた。
アーベル多様体に限らない群スキームについて類似の構造を探そう、とすると、
- 基礎体もしくはより一般の底空間上での有限(平坦)群スキームの構造の記述
- 逆極限、順極限の記述
- divisible groupの構造を持つ極限の記述
- LIe環の類似の概念がwell-definedであること
- exponential map, logarithm mapがwell-definedであること
が必要になってくる。
* formal group
- formal scheme
形式的冪級数環は、極大イデアルのべきで割ったnon-reducedな環の逆極限となっている。
これはNilpotent-algebraの圏から集合の圏への関手を表現している、と思える。
- formal group
formal schemeで(可換)群の圏への関手を経由し、topologically flatなものをformal groupと呼ぶ。
- formal duality
formal groupのdualはformal groupにはならないが、有限のレベルでのdualはfinite groupなので、
Artin局所環上のformal groupについて、formal dualityが成り立つ。
- formal groupの圏における完全列
有限群スキームの場合と同様、cokernelの定義が少し厄介。
* (R,m,k)上のformal group
R:pseudo-compact local ring
m:極大イデアル
k:標数pの剰余体
G: R上のformal group
- connected-etale sequenceの存在
** etale部分
closed fiber functorにより、
formally etale R-scheme G_{R}と
formally etale k-scheme G_{k}が対応する。
** 連結部分
- Frobenius, Verschiebung作用素
FV=p, VF=p
- k上の連結formal groupGはp冪等分点の順極限とformal groupとして同型
lim G[p^n] = G
- R上の連結formal groupGはp冪等分点の順極限とformal groupとして同型
** formal Lie group
formally smoothな連結formal groupをformal Lie groupと呼ぶ。
- 次元
formally smoothなので、対応する局所環は冪級数環。
その生成元の個数(=接空間の次元)をformal Lie groupの次元とする。
- Gorenstein property
- different, discriminant
- isogeny
f:G->Hがisogenyとはtopologically faithfully flat morphismかつ有限kernelをもつこと。
f:G->Hがformally etaleでないGの点をparametrizeするのは、different。
* p-Barsotti-Tate群
(R,m,k)上で、K:Rの商体で標数0とする。
- 有限のレベルでの群スキームの整合系がp-Barsotti-Tate群
G=(G_{n}, i_{n})
高さh、special fiber, generic fiberが定義される。
- dual
有限のレベルでのdualityからp-Barsotti-Tate群のdualityも定義される。
* Tate加群
G_{n}のKの分離閉包値の逆極限T(G)をTate加群と呼ぶ。
T(G)は、高さh、dualの概念がある。
また、p進整数係数のGalois加群となる。
- K上のp-Barsotti-Tate群を与えることとTate加群を与えることは同値
- Φ(G)
逆極限の代わりに順極限を取ると、Tate加群とHom,テンソル積に関して対応する加群ができる。
- Isogeny theorem
(R,m,k;K)で、Rが混標数の離散付値環の時、
Hodge-Tate分解が存在する。
また、Gはgeneric fiberG_{K}から復元できる。
Galois Representations arising from p-divisible groups
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