Loop群上の直線束
[Segal]にまとまっている内容
- Loop群には、良い表現論がある
- Loop群は偏極付きHilbert空間に対する作用素と見なせる
- Gの表現Vに対して
H=L2(S1,V) へLG の作用を与えることが出来る - 無限次元の作用なので、位相が問題になる
i:LG→GLres(H) が定まる([Segal]Prop3.2)H の偏極を一つ決めて、Segal-Wilson Grassmann多様体Gr(H) を定義できるGr(H) には、stratification、cell decompositionがあるGr(H) には、Plucher embeddingがあるGr(H) には、determinant line bundle、Det が定義できるGr(H) の構成は、rational,real analytic,smoothといった(圏の)制限と可換- 推移的作用を持つ
Ures から、Gr(H) にはKahler計量が自然に定まり、Plucker embeddingと整合的 Gr(H) をsmoothに制限すると、エネルギー関数がS1 の無限小回転から誘導されるHamiltonian関数として定まるGr(H) を状態空間とみなすと、状態W に対して、Plucker embeddingはW の量子状態を与え、エネルギー関数は、量子状態ΩW における無限小回転作用素の期待値とみなすことが出来る- エネルギー関数のgradient flowによるMorse decompositonは上記のstratification,cell decompostionと整合的
X=LG/G が定義できる([Segal] 2.1)X はbase loop spaceとみなせ、複素構造を持ち、Grassmann実現が存在するi:X→Gr(H) Y=LG/T が定義できるLG のpositive energy表現について、Borel-Weilの定理の拡張が成り立つ([Segal] Prop4.2)
A Fock Sheaf For Givental Quantization
Q:Loop groupの量子化に関する議論をGivental Quantizationの観点から説明してみること
Q:Loop groupの量子化に関する議論をGivental Quantizationの観点から説明してみること
