サマースクール復習(2015)その5

ThetaⅢ(Mumford)

Tata3 
では、テータ関数について、

• アーベル多様体の普遍非覆面と周期に関する正則関数の側面(Cor2.6)
• Heisenberg群とMetaplectic群の(既約)表現の行列要素という表現論的側面(Cor2.4,Prop8.8,Cor8.9)
• ample line bundleのsectionとして、射影空間への埋め込み、特に2次超曲面の共通零点としてテータ零値を用いて係数が書けるという代数幾何的側面(Prop3.2,Prop5.11,Th10.6,Cor10.13,Th10.14)

が説明されている。

Heisenberg群の表現としては、Stone-Von Neumann-Mackeyによる既約ユニタリ表現の一意性が、局所コンパクトアーベル群の中心拡大に対して成立する。また、アーベル群を実、有限、有限アデールとして、アーベル群の埋め込みと表現が整合する。 
これから、テータ関数のシンプレクティック的側面、複素解析的側面、代数幾何的側面を、Heisenberg群の表現の行列要素の観点から、統一的に見ることが出来る。(p89, AppendixⅡ)

幾何学的量子化

Quantization, Classical and Quantum Field Theory and Theta - Functions

量子化

テータ関数の性質を、幾何学的量子化の観点で見ると、 
物事が透明になる。 
(Pre BRST)量子化は、 
シンプレクティック多様体(M,ω)から、 
- ヒルベルト空間H 
- C∞(M)→Op(H)という作用素の対応 
を行うもの(1.1 The Framework)。

偏極

Hの与え方として、

• 前量子化データ:M上の複素直線束Lとユニタリ接続∇の組で曲率がシンプレクティック形式と整合しているもの
• 偏極F

からQ(M)=HF={s∈Γ∞(L)|∇F(s)=0}(1.12)として定める。 
偏極の与え方としては、 
- 実偏極 
- 複素偏極 
がある。

実偏極にまつわる概念(1.2)

• Bohr-Sommerfeld Lgrangian cycle(Def1,2)
• Lagrangian fibration π:M→B
• Hの射影化は(M,ω)のみに依存し、Lagrangian fibrationに依らない

複素偏極にまつわる概念(1.3)

• 複素構造IとKahler計量
• 射影空間への写像ϕ:MI→PH0(M,L)∗(1.26)
• ϕの像をcohemrent statesと呼ぶ
• 複素構造に対する依存性は射影平坦接続の存在の有無で測ることが出来る(1.29)
• extended Kodaira-Spencer theoryにより、H0(MI,T1,0)=H1(MI,O)(1.47)の下でWelter’s tensor(1.40)があると、正則射影接続が存在する(1.74,1.80,1.86)(cohomological heat equation)

perfect quantization(1.6)

• (1.100)を満たす時、perfect qunatizationと呼ぶ
• 実偏極、複素構造に依存せずにHilbert空間が定まる
• canonicalに基底(Bohr-Sommerfeld basis)が定まる

U(1) 直線束のmoduliの場合

手順としては、2.6 Perfect quantizationにあるように、 
リーマン面のJacobian、あるいはより一般化して、 
主偏極アーベル多様体Aに対して、

1. U(1)gと基点0によりπ:A→Tg−のzero-fiberと同一視する
2. δ関数θR0をFourier級数として定める(ThetaⅢにおけるeZ)
3. 周期ΩによりCST(coherent state transform)を定める。これは熱方程式となる。
4. CSTにより、θR0を境界値とする熱方程式の解を求めると、これがテータ関数で、U(1)gの複素化C∗g上の関数となる
5. 周期Ωから被覆、C∗g→Aを構成し、直線束O(kΘ)の切断をC∗g上の(保型)関数と解釈する
6. テータ関数を直線束の切断とみなす

として、直線束の切断を構成している。 
(複素構造の変形と直線束の変形の関係を結びつけるのは熱方程式だが、 
CSTとして理解できる。)

• CST(coherent state transform) (2.48),(2.49)
• 主偏極アーベル多様体はテータ関数によるperfect quantizationを許す(2.6 Th1)
• Bohr-Sommefeld wave spaceは実偏極によらない(2.6 Prop4)

SU(2) rank2 ベクトル束の場合

• Hitchin’s connection(3.8)
• WZW-connection(5.2)
• Kahler量子化はsuccessful(3.8 Th2)
• Delzant model(4.4)

non-abelian テータ関数の場合も、abelianと同様の手順を踏んで(7.2)、 
Schottki空間上のテータ関数を構成できる。(Prop25, 7.23, 7.25, 7.26)

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