Carlitz module

共形場理論のボゾン

• 共形場理論入門

共形場理論において、ボゾンは、(S1コンパクト化を理由として)、 
logの多価性を持つ演算子として定義され、 
そのexponentialが頂点作用素として定義された。

Carlitz module

• [BP]A RAPID INTRODUCTION TO DRINFELD MODULES,t-MODULES, AND t-MOTIVES
• [Goss] The Carlitz Module

標数pの有限体上の代数関数体において、 
類体論の具体的構成、Kronecker-Weberの定理の類似は、 
単純にその代数関数体の定める完備平滑代数曲線のJacobianの等分点へのGalois作用を見るのでは足りない。 
これは無限遠点を一つ定めて、整数環のJacobianへの作用が存在するとは限らないから(有理数体、虚2次体の場合は虚数乗法論がうまくいっていた)で、 
整数環の作用を持つ加群を構成する必要がある。 
それを具体的に行う方法として、 
1次元の場合に、Carlitz moduleがある。 
これは、無限遠で局所化してLubin-Tate加群を構成する場合と、 
ほぼ同様の構成に結果としてなる。

• [Goss]Th3.1.5にlatticeの部分和の具体的な式
• [Goss]Def3.2.7にCarlitz exponentialの定義
• [Goss]Def3.3.5にCarlitz moduleの定義
• [BP]2.2にLubin-Tate加群と同様の形式となることの記述
• [BP]2.4にlatticeに対する無限積としてexponentialを定義できること、及び作用との整合性とDrinfeld moduleとしての定義
• [BP]2.5にThe Weierstraß-Drinfeld correspondence
• [BP]3にrank>1の場合のDrinfeld A-modulesとしてのAnderson t-modulesとの対応
• [BP]4にt-motive、abelian t-motiveの定義、Drinfeld A-moduleからabelian t-motiveを構成

local Shtukas

• Local Shtukas and Divisible Local Anderson Modules
• Local Shtukas, Hodge-Pink Structures and Galois Representations
• Formal vector spaces over a local field of positive characteristic

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Verlinde公式

幾何学的量子化の状態空間の次元

[Sc]では、 
(点付き)Riemann面Sの基本群のコンパクト半単純Lie群Gへの表現のmoduli空間を、

• (位相的解釈)
• (幾何的解釈)
• (cohomology的解釈)
• (相空間としての解釈) flat connectionのゲージ同値類
• (半安定ベクトル束のmoduliとしての解釈)

と複数の視点から見ている。(Th11.1)

ベクトル束のmoduliとして定まる複素構造から、行列式束として正則直線束が標準的に定まり、対応するテータ因子が定義される。 
特に、この直線束の大域切断として、generalized theta functionsが定義される。(Def11.2)

複素構造の視点から、複素偏極を定めた幾何的量子化と、 
シンプレクティック構造の観点から、実偏極により定めた幾何的量子化は、 
両立する。 
generalized theta functionsのlevelに対する次元の変化は、 
Verlinde公式として与えられる。

fusion rules

fusionとは、表現のテンソル積に関する分解則と曲線の退化に伴うparabolic G-bundleの分解を対応させること、 
である。 
表現のテンソル積は、2つの頂点が無限小近傍に存在している状況、すなわち、crystalを考えている状況に対応する。

共形場理論における頂点演算子の性質、

• 局所演算子の演算子積展開
• 同型順序付けにおける状態空間の時間発展

を用いて、 
頂点にLie環の表現をのせた時のテンソル積の既約表現の分解からなる表現環と、 
頂点でのみ曲率が0でないparabolic vector bundleの因子化における分解の様子、 
を関係づけることが出来る。

位相的場の理論と因子化

• moment mapの値域の凸空間内の点の個数を数えることと大域切断の次元を算出することが同じになる
• 曲線のmoduliのコンパクト化した空間上に延びる
• 曲線の退化に対する挙動が計算できる
• Lie環の既約表現のパラメータと組み合わせ的データに対応が付く

ということから、Verlinde公式が正当化され、 
generalized theta functionsの次元、すなわち状態の個数、 
が帰納的に退化を用いて計算される。

dormant opersの個数

dormapnt opersの個数も、

• generic etaleness
• 退化の挙動
• monodromyの離散化

を用いて、Verlinde公式の形で表示される。

参考文献

• [B] CONFORMAL BLOCKS, FUSION RULES AND THE VERLINDE FORMULA
• [KNPS] Harmonic Maps to Buildings and Singular Perturbation Theory
• [Sc] Mathematical Aspects of the Verlinde Formula
• [W] A theory of dormant opers on pointed stable curves —a proof of Joshi’s conjecture—

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