幾何学的量子化の状態空間の次元
[Sc]では、
(点付き)Riemann面S の基本群のコンパクト半単純Lie群G への表現のmoduli空間を、
(点付き)Riemann面
- (位相的解釈)
- (幾何的解釈)
- (cohomology的解釈)
- (相空間としての解釈) flat connectionのゲージ同値類
- (半安定ベクトル束のmoduliとしての解釈)
と複数の視点から見ている。(Th11.1)
ベクトル束のmoduliとして定まる複素構造から、行列式束として正則直線束が標準的に定まり、対応するテータ因子が定義される。
特に、この直線束の大域切断として、generalized theta functionsが定義される。(Def11.2)
特に、この直線束の大域切断として、generalized theta functionsが定義される。(Def11.2)
複素構造の視点から、複素偏極を定めた幾何的量子化と、
シンプレクティック構造の観点から、実偏極により定めた幾何的量子化は、
両立する。
generalized theta functionsのlevelに対する次元の変化は、
Verlinde公式として与えられる。
シンプレクティック構造の観点から、実偏極により定めた幾何的量子化は、
両立する。
generalized theta functionsのlevelに対する次元の変化は、
Verlinde公式として与えられる。
fusion rules
fusionとは、表現のテンソル積に関する分解則と曲線の退化に伴うparabolic G-bundleの分解を対応させること、
である。
表現のテンソル積は、2つの頂点が無限小近傍に存在している状況、すなわち、crystalを考えている状況に対応する。
である。
表現のテンソル積は、2つの頂点が無限小近傍に存在している状況、すなわち、crystalを考えている状況に対応する。
共形場理論における頂点演算子の性質、
- 局所演算子の演算子積展開
- 同型順序付けにおける状態空間の時間発展
を用いて、
頂点にLie環の表現をのせた時のテンソル積の既約表現の分解からなる表現環と、
頂点でのみ曲率が0でないparabolic vector bundleの因子化における分解の様子、
を関係づけることが出来る。
頂点にLie環の表現をのせた時のテンソル積の既約表現の分解からなる表現環と、
頂点でのみ曲率が0でないparabolic vector bundleの因子化における分解の様子、
を関係づけることが出来る。
位相的場の理論と因子化
- moment mapの値域の凸空間内の点の個数を数えることと大域切断の次元を算出することが同じになる
- 曲線のmoduliのコンパクト化した空間上に延びる
- 曲線の退化に対する挙動が計算できる
- Lie環の既約表現のパラメータと組み合わせ的データに対応が付く
ということから、Verlinde公式が正当化され、
generalized theta functionsの次元、すなわち状態の個数、
が帰納的に退化を用いて計算される。
generalized theta functionsの次元、すなわち状態の個数、
が帰納的に退化を用いて計算される。
dormant opersの個数
dormapnt opersの個数も、
- generic etaleness
- 退化の挙動
- monodromyの離散化
を用いて、Verlinde公式の形で表示される。
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