Springer resolution

　Springer resolution

• [C] Perverse sheaves and the topology of algebraic varieties
• [G] Geometric Methods in Representation Theory of Hecke Algebras and Quantum Groups
• [KW] Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l’adic Fourier Transform
• [Y] Lectures on Springer theories and orbital integrals

pervers sheaves

[G]4. Perverse sheaves and the Decomposition Theorem
では、

• perverse sheavesの圏がアーベル圏で、simple objectがintersection complexesで記述でき、空間のstratificationsからなるposetの構造が圏の構造に反映すること(Th4.3,Th4.4)
• Perverse continuation propertyにより(Zariski)open subvarietiesの射がfunctorialにisoになること(Prop4.5)
• Decompositon theorem(Th4.6)

が述べられている。
これは、複素数体上に限らず、標数pの体上でも成立する。([KW]ChⅢ)

Weyl群の表現

[G]6. Representations of Weyl groups
では、体k(複素数体だが、very goodな標数pの体でも成立)上の連結半単純代数群$G$のWeyl群$W=N_{G}(T)$の表現を幾何的に構成している。

[G]9 Proof of the geometric construction of $W$

• $\cal{B}\simeq$${G/B}$
• $W$は${G/T}$に作用し、${G/T}$と${G/B}$のhomology群は同型
• $\frak{g}\simeq\frak{g}^{*}$の下で$\frak{b}^{\perp}\simeq\frak{n}$
• $\tilde{\frak{g}}\simeq G\times^{B} \frak{b}$
• $\tilde{\cal{N}}=G\times^{B} \frak{n}\simeq \mathrm{T}^{*}\cal{B}\rightarrow\cal{B}$
• Springer resolution $\mu: \tilde{\cal{N}}\rightarrow\cal{N}$はsemi-small([G]Prop9.1)
• $\cal{N}$の$G$軌道は有限個($\frak{h}$の$G$軌道は$\frak{h}/\mathrm{W}$でパラメータ付けされる)
  $\require{AMScd} \begin{CD} \tilde{\cal{N}}@>>>\frak{g}\times\cal{B}\\ @V \mu VV@VV V\\ \cal{N}@>>>\frak{g}\\ @VVV@VVV\\ 0@>>>\frak{h}/\mathrm{W} \end{CD}$
• universal resolution $\tilde{\mu}:\tilde{\frak{g}}\rightarrow\frak{g}$はsmallで、generic etaleでGalois群は$W$([G]Prop9.3)
  $\begin{CD} \tilde{\frak{g}}@>>>\frak{h}\\ @VV \tilde{\mu} V@VV V\\ \frak{g}@>>>\frak{h}/\mathrm{W} \end{CD}$
  $\begin{CD} \tilde{\frak{g}}^{rs} @>>>\frak{h}^{rs}\\ @VV \tilde{\mu} V@VV V\\ \frak{g}^{rs}@>>>\frak{h}^{rs}/\mathrm{W} \end{CD}$

ということから、$Ext(\mu_{*}\cal{C}_\mathrm{M},\mu_{*}\cal{C}_\mathrm{M})$に$W$の正則表現が現れる。
Fourier変換を通して、Springer resolution上にW-actionが誘導される。

ここで、Fourier変換は、Deligne-Fourier変換([KW]ChⅢCor13.4)、Fourier-Sato変換([G]Prop8.3(4))、Radon変換のいずれも、直交補空間を直交補空間に移す。

疑問

• [BK] Microlocal sheaves and quiver varieties
• [BMO] Quantum cohomology of the Springer resolution
• [MS] Higher discriminants and the topology of algebraic maps
• [N] Springer theory via the Hitchin fibration
• [S] Canonical q-deformations in arithmetic geometry

[BK]では、Springer resolutionにおけるsubregular nilpotent elementの逆像として現れるDynkin fiberのnodesについて、Fourier変換で移り合う性質により圏を定義していた。このFourier変換で移り合う、という性質が、$\tilde{\frak{g}}$と$\tilde{\cal{N}}$の対応から導出できないのか?

標数pにおけるsingular supportの定義から、Springer resolutionのsingular supportをG軌道を用いて記述すると、複素数体上のcell decompositionの結果と一致するか?(tamely ramifiedの場合なので一致しているはず)

discriminat locusを標数p特有の状況とするには、Artin-Schreier拡大による分岐の方法があるが、それ以外にはどういう方法があるのだろうか?
[MS]におけるdecompositionの議論を標数pで行うには、どの点が問題になるのだろうか?

affineHecke環のgeometricな構成には、余接バンドルのfiber方向へのスカラー倍が必要だった。
一方で、量子cohomologyにおけるqはエネルギーによるNovikov環の変数として、係数体に現れる。
[S]において、q-analogueが整数環上のHodge構造から現れるという予想がなされている。量子群やRingel代数が行える状況(odd-partがない状況)では、基礎体の標数がパラメータとして持ち上がっていて、結晶基底のパラメータとなっていた。
IUTTにおいては、Galois群を接バンドルとみなす、という考え方のようだから、Galois群の双対(?)的な余接バンドルのfiber方向への作用がqとして現れる、という理解ができれば望ましい。
p進Teichmuller理論ではqは、Serre-Tate canonical liftingにおける持ち上げの座標として現れていた。

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深谷圏の基礎のお勉強

基礎

• [Auroux] A beginner’s introduction to Fukaya categories
• [Hutchings] Lecture notes on Morse homology
• [Seidel] [Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory]
• [Smith] Review Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory

Floer cohomologyが定義されるための3要素([Auroux]1)

• transversality
  そのためにHamiltonian perturbationを行う(場合もある)
• compactness
• orientability

gradingが定義されるために([Auroux]1)

• Maslov index

積([Auroux]2)

• Floer product
• higher product
• Fukaya category

([Auroux]3)

• exact triangle
• twisted complex
• Dehn twists([Auroux]3.3.1)

microlocal geometry

• [BK] Microlocal sheaves and quiver varieties
• [NZ] Constructible Sheaves and the Fukaya Category
• [N1] Microlocal branes are constructible sheaves
• [N2] Arboreal Singularities

[KS90](Sheaves on manifolds)のmicrolocal HomではSerre dualityが成り立つ。
[BK]では、curveのnodeをnormalizeして2点に分離した時の層に対して、
Fourier-Sato変換を用いて対応が付く場合を見ている。
nearby-cycle, vanishing-cycleの言葉で書き直すと、nodal curve上のmicrolocal sheavesの圏の組み合わせ的な構成が記述でき、2-Calabi-Yau propertyがmicrolocal Homの性質から導かれる。([BK]Th1.9)

wrapped Fukaya category

• Homological mirror symmetry for punctured spheres
• Wrapped microlocal sheaves on pairs of pants

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