2018 偏屈層のお勉強

参考文献

• [BBD] Faisceaux pervers
• [CM] Hodge-theoretic aspects of the Decomposition Theorem
• [W1] The Hodge theory of the Decomposition Theorem (after de Cataldo and Migliorini)
• [W2] AN ILLUSTRATED GUIDE TO PERVERSE SHEAVES

Glueing

[BBD]

• 三角圏における操作
  
  • TR4を用いたmapping cone間の射の構成(1.1.6,1.1.7,1.1.8)
  • mapping coneの不定性を除くためのProp(Prop1.1.9,Cor1.1.10)
  • 三角圏のadmissible-部分アーベル圏のker,cokerの性質(Prop1.2.2)
• t-structure
  
  • t-structureの定義(Def1.3.1)
  • truncation functorの定義(Prop1.3.3)
  • coreがextension-stableなadmissible-部分アーベル圏となること(Th1.3.6)
  • t-exact functorの合成などの性質(Prop1.3.17)
• 1.4では、貼り合わせについて記述している。
  
  • open embedding とcomplementから生じるdistinguished triangle(1.4.1.1)
  • Cor1.1.10を使うための前提の確認(1.4.3.3)
  • 三角圏のexact sequence(Prop1.4.5)
  • 具体的なtriangleの構成要素の確認(1.4.7)
  • t-structureによる三角圏の貼り合わせ(Th1.4.10)
  • trivialなt-structureの構成(1.4.13)とその合成による貼り合わせ(1.4.13.1)
• intermediate extention
  
  • intermediate extentionの定義(Def1.4.22)
  • truncationを用いた記述(Prop1.4.23)
  • 拡張のuniquenessと性質(Cor1.4.24)
  • subquotientのsupportの性質(Cor1.4.25)
  • simplenessの保存(Prop1.4.26)

Lefschetzの定理

[W1]

• Hodge theory
  
  • Hard Lefschetz theorem(Th1.2)
  • Hodge-Riemann bilinear relation(Th1.4)
  • Artinによるaffine mapでのcohomological dimensionの上限
  • weak Lefschetz theorem(Th1.9)
  • decomposition theoremの原型(Th1.11) source:smoothのprojective map
• semi-small map
  
  • semi-small mapの定義(Def2.1)
  • semi-small mapがperverse sheavesを保つこと(Prop2.2)
  • semi-small classに対するHard Lefschetz theorem(Th2.9)
  • local intersection formがnon-degenerateであることとdecomposition theoremが成り立つことが同値(Prop2.17)
  • semi-small index theorem(Th2.18)
  • Hodge-Riemann(Th2.9)→semi-small index(Th2.18)→decomposition theoremが成り立つ(Th2.4)
• general map
  
  • Decomposition theorem package(3.1)
  • perverse filtrationはpure Hodge substructureからなる(Prop3.6)
  • primitive decomposition(Cor3.10)
  • Hodge Riemann bilinear relation(Th3.12)
  • Decomposition theorem packageを用いた帰納法のためにdefect of semi-smallnessを定義(3.2)
  • universal hyperplane sectionを用いた帰納法(Prop3.17,Cor3.18)
  • Relative Hard Lefschetz theorem(Rem3.21)

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