解の構成
代数方程式の解をノルムの入った空間上で構成する方法としてNewton法がある。
本来、代数的で次元が抑えられている数を、線形近似の繰り返しで解析的に構成する。
1次の項は接線を引く段階で情報を失い、2次の項が収束に関する情報を持ち、
それより高次の項は補正のために必要になる。
Newton法を行うことができるためには、コーシー列の極限の存在が必要になる。
局所的に凸性がある場合、収束が保証される。
本来、代数的で次元が抑えられている数を、線形近似の繰り返しで解析的に構成する。
1次の項は接線を引く段階で情報を失い、2次の項が収束に関する情報を持ち、
それより高次の項は補正のために必要になる。
Newton法を行うことができるためには、コーシー列の極限の存在が必要になる。
局所的に凸性がある場合、収束が保証される。
代数幾何において、陰関数定理に対応する局所座標の構成を行うためには、
Zariski位相では粗すぎ、etale位相まで位相を細かくする必要があり、
対応して局所環は完備化もしくはHensel化が必要になる。
Zariski位相では粗すぎ、etale位相まで位相を細かくする必要があり、
対応して局所環は完備化もしくはHensel化が必要になる。
変形理論において、変形関手の同値類を構成しようとすると、
DGLA(differential graded Lie algebra)だけでは、うまく逆写像が構成できない場合がある。
DGLA(differential graded Lie algebra)だけでは、うまく逆写像が構成できない場合がある。
A∞代数
- cohomologyから複体の再構成
- extention algebraからの圏の再構成
について解説されている。
結合的代数は、m2 だけが消えないA∞代数 とみなせる。
m1 はdifferentialであり、DG代数はm1,m2 が消えないA∞ とみなせる。
一般のA∞ 代数は、{mn:A⊗n→A} 達によって演算が整合性を持った代数。
結合的代数は、
一般の
これについて、次のような連想ができる。
結合的代数は、平均0の正規分布。
DG代数は、平均が任意の正規分布。
一般のA∞ 代数は、任意のキュムラントを持つ確率分布。
実際に、{mn} の期待値とキュムラントの演算の整合性は、
Homotopy Probability Theory IおよびHomotopy Probability Theory II
で与えられている。
結合的代数は、平均0の正規分布。
DG代数は、平均が任意の正規分布。
一般の
実際に、
Homotopy Probability Theory IおよびHomotopy Probability Theory II
で与えられている。
これは、正規分布において平方展開による極小化を連想させる。
graded vector spaceV が与えられている時、V 上のA∞ 代数の構造の集合は、
TV=⊕∞n=1V⊗n に対して、余微分に関する等式、
Coder(TV,TV)=ΠHom(V⊗n,V) を持ちいて、2回余微分が0という条件で与えられる閉集合になる。
代数から圏
代数を1つの対象からなる圏とみなす考え方から、 有限個の対象をもつ圏は、
有限個の原始冪等元に対応する対象、および、それらの射を写像とした代数、 とも思える。
一般のA∞ 圏はその拡張になる。
有限個の原始冪等元に対応する対象、および、それらの射を写像とした代数、 とも思える。
一般の
entropy
コンパクト距離空間における連続写像に対して、
- 被覆エントロピー
- 位相的エントロピー
- 測度的エントロピー
が定義される。
A∞ 圏を空間の拡張だと思うと、コンパクトに対応し、生成系が有限であるような圏について、
関手にたいするentropyが定義できることが予想されるが、
Dynamical systems and categories で定義がなされている。
関手にたいするentropyが定義できることが予想されるが、
Dynamical systems and categories で定義がなされている。
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