2019 超局所化と消滅サイクル

enhanced versionの超局所化

• [DK] Enhanced specialization and microlocalization
• [KS] [Sheaves on Manifolds]

[KS}の8.6では、正則写像に対する超局所化と消滅サイクルの関係が記述されている。
enhanced版では、写像がborderedになるが、この場合の超局所化とstokes perverse sheavesの消滅サイクルとどう関係するのだろうか?

Written with StackEdit.

2019 コンパニオン

companion

• [Kedlaya1] Notes on isocrystals
• [Kedlaya2] Etale and crystalline companions, I

[Kedlaya2]では、
- Delgineの予想として、有限体上の代数多様体に対するcoefficient objectsの存在が挙げられている(Conjecture0.1.1)
- $l\neq p$のときはl進層
- $l = p$のときはoverconvergent F-isocrystals
- 代数的な場合はcompanionが存在する(Conjecture0.5.1)と予想
- curveの場合はLanglands対応を介して成立(Th0.2.1)
とある。
さらに、curveの場合、local monodromyのcomaptibility of ramification(2.4)について、
- Swan conductorが定義されGOS公式が成立
とある。

疑問

• 高次元の場合にcompanionが存在するとして、l進層の特性サイクルはp-companionの特性サイクルを定めるか?(isocrystalは可積分接続なので、D加群の特性サイクルが定義されなければならないが、数論的D加群におけるoverholonomicityは難しいようだ。では適切な特性サイクルとはどう定義されるのか?)
• curveの場合、Airy関数のWKB解析によるcluster代数構造の存在のような議論を、overconvergent F-isocrystalについて展開できるか?特に、収束半径を超えたところでの壁超えに類する話はあるのか?
• isocrystalにおけるrigid local systemの議論の類似(局所Fourier変換があり、Swan conductorがあれば射影直線上の定義はできそうだが、偏屈層に対応する貼り合わせの概念がないので、そのままではmiddle convolutionが定義できない?)

oper

• [Allegretti] Stability conditions and cluster varieties from quivers of type A
• [Mulase] 2次元位相的場の量子論と量子スペクトル曲線へのご招待
• [Wakabayashi] 休眠乍の l 進コホモロジー的場の理論

Written with StackEdit.

2019 ramification

文献

• [AS] RAMIFICATION AND CLEANLINESS
• [Brylinski] Transformations canoniques, dualité projective, théorie de Lefschetz, transformations de Fourier et sommes trigonométriques
• [D’Agnolo] Radon and Fourier transforms for D-modules
• [Kato] 類体論とD加群
• [Saito] Characteristic cycle and the Euler number of a constructible sheaf on a surface

類体論とD加群

[Kato]では、Deligneによる暴分岐と不確定特異点の類似を、
類体論の観点から深掘りし、予想を立てている。その予想は、[AS]およびその後の論文群により、ほぼ証明されている(ようだ)。

• 「類似」はなぜ存在するか永久に謎のままであるという種類の類似
• 1次元の場合で、基礎体が有限体の場合、複素数の場合、の留数と跡によるSwan conductor, irregularityの表示
• cleannessの定義
• 剰余体が非分離拡大になる暴分岐の場合のSwan conductorの定義のplan

分岐

[AS]では、暴分岐の場合も含めて、specializationが定義されている。
これは、regular singular holonomic D-modulesの場合および対応するconstructible sheavesの場合に定義されていたspecializationに類似のもの。
後者では、そのFourier-Sato変換によりmicro-localizationが定義されたが、[AS]でも、Frouer-Deligne変換の台を用いてnon-degenerateの概念を定義している。
ただし、[AS]に続く論文群ではRadon変換を用いて先に特異台を定義、それを土台にcharacteristic cyclesを定義している。

Radon変換とFourier変換の関係

[Brylinski]では、Radon変換における偏屈層のmodulo 定数層での対応と、標数pの場合も含めたRadon変換とFourier変換の関係について証明している。(図式については、[D’Agnolo]の(1.6)のほうが見やすい)

Written with StackEdit.

2018 Euler-Poincare

文献

• [Katz] Gauss Sums, Kloosterman Sums, and Monodromy Groups
• [Laumon1] Transformation de Fourier, constantes d’équations fonctionnelles et conjecture de Weil
• [Laumon2] Semi-continuité du conducteur de Swan (d’après P. Deligne)
• [Laumon3] Caractéristique d’Euler-Poincaré des faisceaux constructibles sur une surface

Grothendieck-Ogg-Shafarevich

• [Katz]では、8.5 Numerology of Fourier TransformでNaive Fourier transform(NFT)のrankについて記述している
  
  • affine直線のEuler-Poincare formula(8.5.2)
  • NFTがsmoothになる点の無限遠点でのSwan conductorによる評価(8.5.3)
  • slope(=break?)が>1,=1,<1の場合にArtin-Schreier層とのtensor積のslopeの評価、Swan conductorのslopeによる表示式(8.5.4, 8.5.5)
  • largest smooth open subsetのslopeによる表示式(8.5.6)
  • 特にslopeが>1, !=1,>=1の場合の0でのsmoothness(8.5.8)

• [Laumon1]では、[Katz]の式を用いて公式を導出している

  • NFTのrank公式(Prop2.3.1.1)
  • 特別な場合の公式(Cor2.3.1.3)
  • local Fourier Transformの定義(Def2.4.2.3)
  • local Fourier Transformのrank公式(Th2.4.3)

  lower semi-continuity

  [Laumon2]では、henselian trait上のrelative curveの場合に、Swan conductorのlower semi-continuityを証明している

• Swan character, Swan representation, Swan conductor
  
  • Swan conductorの計算例(Example1.1.7)
  • GOS formula(1.2)
  • general fiberとspecial fiberのEuler数の差をvanishing cycleで表す式(1.3.4.7)
• total dimensionのlower semi-continuity(Delgine, Th2.1.1)
  
  • constructibityをconductorの計算に帰着(3.9の具体的な計算)
  • base change(Th4.1.2 isolated singularityがある場合)によりstrict local henserianに帰着
  • properの場合のTh5.1.1に帰着
• Th5.1.1の証明の準備(6 deformation)
  
  • Prop6.1.1
  • 無限遠$F^{\sim}$での分岐を消す拡大を探す
  • base$S$を超越次元1の拡大によりbase changeすることで、lem6.3.4.1の前の図にあるように水平をずらす。これにより$x$上でetaleという性質を満たすように変形できる。
• Th5.1.1の証明
  
  • (7.1.1)を(7.1.2)の場合に帰着
  • $\Delta\chi$をvanishing cycleで表し、$\pi^{-1}(x)$上と$F^{\sim}_{s}$上の計算に帰着させ、後者はProp6.1.1の性質から打ち消し合う(7.3.1)
  • (7.3.1)から(7.2.1)により(7.1.2)が導出される

Lefschetz pencil

[Laumon3]では、surface上のnon feroceな場合のEuler-Poincare formulaをLefschetz pencilを用いて証明している。

• Euler Poincare formula(Th1.2.1)
  
  • sheafのEuler数をsmoothな開空間、分岐している空間と分岐の程度の情報で記述するGOSの拡張
  • feroce, non-feroceの例としてExample2.2.1でArtin-Schreier拡大の場合を取り扱っている。これはFourier変換の場合にでてくるもので、feroceの場合は分岐理論が整備されないと記述できない。ここではnon-feroceのみ対象。
• $Sw_{x}(F,f)$の定義(Def2.3.5)
• Lefschetz pencilによりsurface上のEuler数を射影直線上のEuler数に帰着させ、GOS公式を用いる(3.1.4, 3.1., 3.1.107)
• $(X,f,F)$がlocal acyclicityを満たさない点の集合(Figure3.2.4)
  
  • singular points in the fiber(この寄与は$F$がsmoothより消える)
  • $Y^{0}$を通る点(Th3.2.3よりnearby-cycleが消えることから寄与しない)
  • $Y-Y^{0}$を通る点(寄与が残る)
  • $Y_{j}^{0}$に接する点(射影空間へdegreeを高めて埋め込むことにより寄与が消えることが示される (4.4.2),4.5)
• 2.3.6の証明
  
  • 一つの項だけを変化させるpencil(4.6)

Written with StackEdit.

2018 t-structure

参考文献

• [B] Stability conditions on triangulated categories
• [DK] Enhanced perversities
• [K1] T-structures on the derived categories of D-modules and O-modules
• [K2] Self-dual T-structure

generalized t-structure

[B]では、

• stabilityを定義(Def1.1)
• t-structureの定義(Def3.1)
• slicingの定義(Def3.3)
• slicingから構成されるquasi-abelian categoryの定義と性質(Def4.1,lem4.3)
• stability conditionとbounded t-structure(+α)の同値性(Prop5.3)

が記述されている。

[K2]では、

• phaseに合わせて実数で添字付けられたgeneralized t-structureの定義(Def1.2)
• torsion pairに対するt-structure(3)
• 連接層に関するself dual t-structure(4)
• 実構造に関するself dual t-structure(5)
  
  • 定義(5.2)
  • t-structureになること(Th5.5 )
  • 関手によるperversityの振る舞い(Prop5.10)
• 複素構造に関するmiddle perversityのmicrolocalな特徴づけ(Th6.2)

が記述されている。

[DK]では、

• enhanced perversityの定義(Def3.5.1)
• t-structureになること(Th3.5.2)

が記述されている。

疑問

• Neron modelの導来圏におけるt-structureによる特徴づけは可能か?
• 双有理同値の場合の可構層の導来圏の関係は分解定理から同値に近いことが言えるか?
• etale層のgeneralized t-structure　とくにsemi-smallnessをGalois群の暴分岐、上付きfiltrationと関連付けられないか?
• log structureの拡張としてのStokes構造もどきの組み合わせ構造

Written with StackEdit.

2018 偏屈層のお勉強

参考文献

• [BBD] Faisceaux pervers
• [CM] Hodge-theoretic aspects of the Decomposition Theorem
• [W1] The Hodge theory of the Decomposition Theorem (after de Cataldo and Migliorini)
• [W2] AN ILLUSTRATED GUIDE TO PERVERSE SHEAVES

Glueing

[BBD]

• 三角圏における操作
  
  • TR4を用いたmapping cone間の射の構成(1.1.6,1.1.7,1.1.8)
  • mapping coneの不定性を除くためのProp(Prop1.1.9,Cor1.1.10)
  • 三角圏のadmissible-部分アーベル圏のker,cokerの性質(Prop1.2.2)
• t-structure
  
  • t-structureの定義(Def1.3.1)
  • truncation functorの定義(Prop1.3.3)
  • coreがextension-stableなadmissible-部分アーベル圏となること(Th1.3.6)
  • t-exact functorの合成などの性質(Prop1.3.17)
• 1.4では、貼り合わせについて記述している。
  
  • open embedding とcomplementから生じるdistinguished triangle(1.4.1.1)
  • Cor1.1.10を使うための前提の確認(1.4.3.3)
  • 三角圏のexact sequence(Prop1.4.5)
  • 具体的なtriangleの構成要素の確認(1.4.7)
  • t-structureによる三角圏の貼り合わせ(Th1.4.10)
  • trivialなt-structureの構成(1.4.13)とその合成による貼り合わせ(1.4.13.1)
• intermediate extention
  
  • intermediate extentionの定義(Def1.4.22)
  • truncationを用いた記述(Prop1.4.23)
  • 拡張のuniquenessと性質(Cor1.4.24)
  • subquotientのsupportの性質(Cor1.4.25)
  • simplenessの保存(Prop1.4.26)

Lefschetzの定理

[W1]

• Hodge theory
  
  • Hard Lefschetz theorem(Th1.2)
  • Hodge-Riemann bilinear relation(Th1.4)
  • Artinによるaffine mapでのcohomological dimensionの上限
  • weak Lefschetz theorem(Th1.9)
  • decomposition theoremの原型(Th1.11) source:smoothのprojective map
• semi-small map
  
  • semi-small mapの定義(Def2.1)
  • semi-small mapがperverse sheavesを保つこと(Prop2.2)
  • semi-small classに対するHard Lefschetz theorem(Th2.9)
  • local intersection formがnon-degenerateであることとdecomposition theoremが成り立つことが同値(Prop2.17)
  • semi-small index theorem(Th2.18)
  • Hodge-Riemann(Th2.9)→semi-small index(Th2.18)→decomposition theoremが成り立つ(Th2.4)
• general map
  
  • Decomposition theorem package(3.1)
  • perverse filtrationはpure Hodge substructureからなる(Prop3.6)
  • primitive decomposition(Cor3.10)
  • Hodge Riemann bilinear relation(Th3.12)
  • Decomposition theorem packageを用いた帰納法のためにdefect of semi-smallnessを定義(3.2)
  • universal hyperplane sectionを用いた帰納法(Prop3.17,Cor3.18)
  • Relative Hard Lefschetz theorem(Rem3.21)

Written with StackEdit.

2018 シンプレクティック幾何学

生成関数、接触構造、Lagrangian

• [Viterbo] An Introduction to Symplectic Topology through
  Sheaf theory

non-displaceability

• [GKS] Sheaf quantization of Hamiltonian isotopies and applications to non displaceability problems
• [GP] Microlocal theory of sheaves and Tamarkin’s non displaceability theorem
• [Ike]Compact exact Lagrangian intersections in cotangent bundles via sheaf quantization

[Ike]では、[GKS]の流れの解説と拡張を説明している。

• 2つのcompact setsがnondisplaceabilityとは、どんなHamiltonian diffeomorphismで移しても交わりが空にならないこと
• Hamiltonian isotopyに対してLagrangianが構成され、その量子化として層が構成される(Th3.1)
• nondisplaceabilityという幾何的な条件をとある圏のHom空間の条件に翻訳する(Th3.11)
  • separability theorem: 2つのcompact setの交わりが空ならHom空間は0(Th3.5)
  • invariance theorem: Hamiltonian diffeomorphismに対して圏の間手が対応し、objectはisoになるように商圏を取ることができる(Th3.10)
• 圏 D(M),商圏 T(M)の定義(Def3.3, Def3.8)
• compact exact Lagrangianのsimple sheaf quantization(3.3)
  • 層に対してsingular supportが定義され、conic Lagrangianになる
  • compact exact Lagrangianは一般にconicではないが、conificationという操作を行うことができる(3.21)
  • conificationされたLagrangianに対して、量子化された層が唯一存在する(Th3.13)
  • その層はconified Lagrangianに沿ってsimpleになり、simple sheaf quantizationと呼ばれる
• Hom空間の具体的な記述
  • singular supportは層の挙動が変わる領域を超局所的に見ている
  • Hom空間を見るには、μhomのMorse理論的なパラメータ変化を見る(Prop4.7,lem4.9,Prop4.11)
  • Sheaves on manifoldsのCh7の議論を用いて、Hamilton isotopyのquantizationからquantum contact transformationを対応させ、inertia indexの計算により、交わりがcleanもしくはtransversalな場合のcompact exact lagrangianに対応するsheaf quantizationのHom空間の具体的な記述ができる(Th4.14, Th4.17)

[GP]では、separation theoremの証明がTh3.28で、invariance theoremの証明がTh6.1でなされている。
[GKS]では、homogeneous Hamiltonian isotopyのsheaf quantizationのlocally boundedの条件(Def1.12)のもとでの存在と一意性の証明がTh3.7でなされている。

疑問

• 標数pにおける特異台の議論は、偏屈層の理論をもとにして、代数的に定義されていた。Sheaves on manifoldsの複素代数多様体の議論を同様に実の定義を経由せずにできるか?
• 逆に、標数pにおいて、実構造に相当する下部空間の構成ができるか?単純には、Frobenius作用素でのひねりとして、shtuka的な構造になる?

Written with StackEdit.