Trees and the dynamics of polynomials
http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/trees/trees.pdf
をみると、
複素解析的にtreeと有理関数から生じる力学系を関連付けることができるようだ。
また、複素解析的には、
Teichmuller curveという概念がある。
リーマン面からリーマン面のmoduliへの写像がlocal isometryという条件によって定義されるが、
Rigidity of Teichm¨uller curves
(http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/rigidity/rigidity.pdf)
によるとTeichmuller curveは変形を持たず、数体上で定義される。
逆に、
Every curve is a Teichmuller curve
(http://arxiv.org/abs/0909.1851)
によると、
数体上定義される代数曲線は、Teichmuller curveと双有理同値になる。
こちらは、P1-{0,1,∞}上の分岐被覆として実現できるというBelyiの定理を用いている。
数体上の代数曲線、という概念が解析的に特徴付けられたように見えるが、
これは、何らかの変分法として特徴付けられるだろうか？
Teichmuller curveをさらにJacobianをとって、A_gへの写像とみなすと像がどうなるか？
ということに関して、
Variations of Hodge structures of a Teichmuller curve
(http://arxiv.org/abs/math/0401290)
があった。
Higgsバンドルの言葉で特徴付けている。
特徴づけの中にreal multiplicationが現れるので、
志村曲線であるTeichmuller curveはどれだけあるか？
と気になるが、
それは、
Shimura- and Teichmueller curves
(http://arxiv.org/abs/math/0501333)
で極めて少数であることが示されている。
---
三角群を絡めたサーベイとして
Teichmuller spaces, triangle groups and Grothendieck dessins
http://www.mth.kcl.ac.uk/staff/wj_harvey/HstrasL.pdf
2010年1月26日火曜日
2010年1月23日土曜日
スペクトル曲線と高さ関数
Canonical height and logarithmic equidistribution on superelliptic curves
http://arxiv.org/abs/0911.1271
では、
hyperelliptic curve(およびその拡張)の場合に、
Theorem A: Neron-Tate heightはGreen関数のlocal積分の和で表せる
Theorem B: Aの積分は、ヤコビアン多様体の等分点での値を用いて、近似できる
ということが示されていた。
TheoremAの根拠となるのは、アラケロフ幾何でのpairingとarithmetic Hodge index theoremで、
Admissible pairing on a curve
(http://www.math.columbia.edu/~szhang/papers/apc.pdf)
が元になっている。
TheoremBは、Krichever mapを使って佐藤グラスマン多様体にヤコビアンを埋め込む手法とほぼ同一の方法で、テータ因子の引き戻しの局所定義イデアルを具体的に書き下し、等分点に関する多項式分の増大度を
打ち消し、
さらに、Faltingsによるdiophantine apploximationを用いて、積分への近似における評価をしている。
TheoremBのほうは、射影直線の分岐被覆として曲線を実現、すなわちスペクトル曲線であれば、
証明が通用すると思われる。
リーマン面上の自由フェルミオン場についてのKNTYの論文では、アラケロフ幾何と自由フェルミオン場の類似が言及されていたが、
Berkovich空間を通して、よりいっそうつながりが認識される。
むしろ、あいまいな疑問として、
- 共形普遍性とは何か？
- 数論性はくりこみの不動点をあたえるのか？
というものが残る。
http://arxiv.org/abs/0911.1271
では、
hyperelliptic curve(およびその拡張)の場合に、
Theorem A: Neron-Tate heightはGreen関数のlocal積分の和で表せる
Theorem B: Aの積分は、ヤコビアン多様体の等分点での値を用いて、近似できる
ということが示されていた。
TheoremAの根拠となるのは、アラケロフ幾何でのpairingとarithmetic Hodge index theoremで、
Admissible pairing on a curve
(http://www.math.columbia.edu/~szhang/papers/apc.pdf)
が元になっている。
TheoremBは、Krichever mapを使って佐藤グラスマン多様体にヤコビアンを埋め込む手法とほぼ同一の方法で、テータ因子の引き戻しの局所定義イデアルを具体的に書き下し、等分点に関する多項式分の増大度を
打ち消し、
さらに、Faltingsによるdiophantine apploximationを用いて、積分への近似における評価をしている。
TheoremBのほうは、射影直線の分岐被覆として曲線を実現、すなわちスペクトル曲線であれば、
証明が通用すると思われる。
リーマン面上の自由フェルミオン場についてのKNTYの論文では、アラケロフ幾何と自由フェルミオン場の類似が言及されていたが、
Berkovich空間を通して、よりいっそうつながりが認識される。
むしろ、あいまいな疑問として、
- 共形普遍性とは何か？
- 数論性はくりこみの不動点をあたえるのか？
というものが残る。
2010年1月6日水曜日
グラフの退化
曲線のモジュライのコンパクト化に関係して、
- グラフの一つの辺が退化していくことを、Mumford curveの退化として記述できるだろうか？
という疑問がわく。
安直に考えると、
Discrete groups, Mumford curves and Theta functions
(http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AFST/AFST_1992_6_1_3/AFST_1992_6_1_3_399_0/AFST_1992_6_1_3_399_0.pdf)
にあるtheta関数をΓから乗法群へのHomをとるだけではなくて、
Γ+から体へ0も許してmonoidのHomをとって、
log構造を考えればよさそうだ、
と想像できる。
では、曲線の退化をlog構造で記述するためのわかりやすい説明はどこかにないだろうか？
まずは、
Logarithmic geometry
(http://folk.uio.no/rognes/yff/ogus.pdf)
で勉強してみることにする。
もしこれができたら、対応してBerkovich空間が構成できるかどうか？という問題が生じる。
また、
curve全体では面倒そうなので、超楕円曲線に限ってモジュライを考えるとすると、
periodの性質を見ないといけない。
"Schottky Groups and Mumford Curves"(Gerritzen & van der Put)p282
にWhittaker groupがtotally split hyper elliptic curveに対応する
という記述があり、
Universal periods of hyperelliptic curves and their applications
(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1002-9.pdf)
に超楕円曲線の場合の退化が記述されているので、
これをみてみることにする。
また、
Tata lectureⅡ(Mumford)にあるThomae formulaを
EXPLICIT MUMFORD ISOMORPHISM FOR HYPERELLIPTIC. CURVES
(http://www.math.leidenuniv.nl/~rdejong/Mumford2.pdf)
により復習することにする。
-----------------------------------------------------
Log smooth deformation and moduli of log smooth curves
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kato/Data/moduli.pdf
が参考になりそうだ。
Coverings in p-adic analytic geometry and log coverings I: Cospecialization of the (p')-tempered fundamental group for a family of curves
http://arxiv.org/abs/0909.2805
に、log退化を含めた曲線族の話があった。
- グラフの一つの辺が退化していくことを、Mumford curveの退化として記述できるだろうか？
という疑問がわく。
安直に考えると、
Discrete groups, Mumford curves and Theta functions
(http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AFST/AFST_1992_6_1_3/AFST_1992_6_1_3_399_0/AFST_1992_6_1_3_399_0.pdf)
にあるtheta関数をΓから乗法群へのHomをとるだけではなくて、
Γ+から体へ0も許してmonoidのHomをとって、
log構造を考えればよさそうだ、
と想像できる。
では、曲線の退化をlog構造で記述するためのわかりやすい説明はどこかにないだろうか？
まずは、
Logarithmic geometry
(http://folk.uio.no/rognes/yff/ogus.pdf)
で勉強してみることにする。
もしこれができたら、対応してBerkovich空間が構成できるかどうか？という問題が生じる。
また、
curve全体では面倒そうなので、超楕円曲線に限ってモジュライを考えるとすると、
periodの性質を見ないといけない。
"Schottky Groups and Mumford Curves"(Gerritzen & van der Put)p282
にWhittaker groupがtotally split hyper elliptic curveに対応する
という記述があり、
Universal periods of hyperelliptic curves and their applications
(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1002-9.pdf)
に超楕円曲線の場合の退化が記述されているので、
これをみてみることにする。
また、
Tata lectureⅡ(Mumford)にあるThomae formulaを
EXPLICIT MUMFORD ISOMORPHISM FOR HYPERELLIPTIC. CURVES
(http://www.math.leidenuniv.nl/~rdejong/Mumford2.pdf)
により復習することにする。
-----------------------------------------------------
Log smooth deformation and moduli of log smooth curves
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kato/Data/moduli.pdf
が参考になりそうだ。
Coverings in p-adic analytic geometry and log coverings I: Cospecialization of the (p')-tempered fundamental group for a family of curves
http://arxiv.org/abs/0909.2805
に、log退化を含めた曲線族の話があった。
2010年1月5日火曜日
Mumford curveと力学系
* binary treeに対応するMumford curve
genus2のMumford curve
ということになる。
この場合は、超楕円曲線であり、
- いつ、Mumford curveになるか
- special fibreのdual graphはなにか
については、
"Schottky Groups and Mumford curves"(Gerritzen&van der Put)5.3 p168の表にまとまっている。
* Symbol dynamicsに対応するMumford curve
binary treeに対応するcantor setは、
{0,1}をシンボルとする記号力学系
の軌道とみなせる。
これから、
g個のシンボルによる記号力学系が、c(x,y)によって定まっている、と考えると、
記号力学系のstableな極限がΓ+に対応して、
Mumford curveが対応する。
ここで、重要な点は、Mumford curveが対応すると、
定義体が定まり、有限次拡大の場合のvalue pointsの分岐の様子、
すなわちガロア作用が定まっていることである。
* period
special fibreの各辺の長さは、p冪になっている場合は、C_p上で実現できるが、
そうでない場合は、超越次元の高い体上でのみ、実現できる。
Mumford curveに対するMarcolliらの論文で非可換幾何がでてきたのは、
periodの数論性に関する点を、AF環などをみることにより、気にする必要がなかったからでは？
と推察する。
Tate curveの場合は、periodはj-invariantにより求まるが、
高種数の場合はテータ関数を用いて見ることになる。
- ガロア群のTate moduleへの作用による代数的なテータ関数をみる
- periodの数論性とテータ関数の性質の対応
といった点が気になる。
* 曲線のモジュライのなかでMumford curveが占める部分と一元体
任意のstable graphはMumford curveのspecial fibreとして実現できるので、
曲線のモジュライのなかでMumford curveが占める部分およびそのコンパクト化から、
極限集合の集合への対応が得られる。
このうち、metricに由来するものはpに依存するが、組み合わせ的な部分はp->1として、
一元体に持っていっても変化しないと予想される。
そのため、
一元体上での曲線のモジュライは興味ある対象である。
-Harer-Zagierの公式が一元体上で導けるかどうか？
という点が気になる。
* p進体の力学系との対応に関して
"The Arithmtic of Dynamical Systems"(Silverman)
の5.5にφ(z)=(z^2-z)/pによる力学系がでてきて、
これがQ_p上に制限したとき、{0,1}の記号力学系、すなわちbinary treeに対応する。
0,1が不動点なので、
binary treeに対応するMumford curveが{0,∞},{1,∞}を軸に持つ双曲的元で生成される群に対応する、
ということとmatchする。
この対応を理解すること、
さらに、
- 有理関数のモジュライから曲線のモジュライへの写像が存在するか？
というのは、興味ある問題になる。
----------------------------------------
力学系との関係については、
Dynamique p-adique (d'après des exposés de Jean-Christophe Yoccoz)
http://arxiv.org/abs/0912.5413
が図が多く参考になりそう。
有理関数とクライン群については、
複素数体上においては、
Sullivan の辞書, Teichmuller spaces, そして中心予想
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0959-3.pdf
という形で関係が記述されていた。
PSL2(Q_p)における基本群の表現から、p進Teihimuller空間を作って、
複素数上の類似を考えることはできるだろうか？
あるいは、表現を考えるために、B_dRのようなp進周期環における表現を考える必要があるだろうか？
genus2のMumford curve
ということになる。
この場合は、超楕円曲線であり、
- いつ、Mumford curveになるか
- special fibreのdual graphはなにか
については、
"Schottky Groups and Mumford curves"(Gerritzen&van der Put)5.3 p168の表にまとまっている。
* Symbol dynamicsに対応するMumford curve
binary treeに対応するcantor setは、
{0,1}をシンボルとする記号力学系
の軌道とみなせる。
これから、
g個のシンボルによる記号力学系が、c(x,y)によって定まっている、と考えると、
記号力学系のstableな極限がΓ+に対応して、
Mumford curveが対応する。
ここで、重要な点は、Mumford curveが対応すると、
定義体が定まり、有限次拡大の場合のvalue pointsの分岐の様子、
すなわちガロア作用が定まっていることである。
* period
special fibreの各辺の長さは、p冪になっている場合は、C_p上で実現できるが、
そうでない場合は、超越次元の高い体上でのみ、実現できる。
Mumford curveに対するMarcolliらの論文で非可換幾何がでてきたのは、
periodの数論性に関する点を、AF環などをみることにより、気にする必要がなかったからでは？
と推察する。
Tate curveの場合は、periodはj-invariantにより求まるが、
高種数の場合はテータ関数を用いて見ることになる。
- ガロア群のTate moduleへの作用による代数的なテータ関数をみる
- periodの数論性とテータ関数の性質の対応
といった点が気になる。
* 曲線のモジュライのなかでMumford curveが占める部分と一元体
任意のstable graphはMumford curveのspecial fibreとして実現できるので、
曲線のモジュライのなかでMumford curveが占める部分およびそのコンパクト化から、
極限集合の集合への対応が得られる。
このうち、metricに由来するものはpに依存するが、組み合わせ的な部分はp->1として、
一元体に持っていっても変化しないと予想される。
そのため、
一元体上での曲線のモジュライは興味ある対象である。
-Harer-Zagierの公式が一元体上で導けるかどうか？
という点が気になる。
* p進体の力学系との対応に関して
"The Arithmtic of Dynamical Systems"(Silverman)
の5.5にφ(z)=(z^2-z)/pによる力学系がでてきて、
これがQ_p上に制限したとき、{0,1}の記号力学系、すなわちbinary treeに対応する。
0,1が不動点なので、
binary treeに対応するMumford curveが{0,∞},{1,∞}を軸に持つ双曲的元で生成される群に対応する、
ということとmatchする。
この対応を理解すること、
さらに、
- 有理関数のモジュライから曲線のモジュライへの写像が存在するか？
というのは、興味ある問題になる。
----------------------------------------
力学系との関係については、
Dynamique p-adique (d'après des exposés de Jean-Christophe Yoccoz)
http://arxiv.org/abs/0912.5413
が図が多く参考になりそう。
有理関数とクライン群については、
複素数体上においては、
Sullivan の辞書, Teichmuller spaces, そして中心予想
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0959-3.pdf
という形で関係が記述されていた。
PSL2(Q_p)における基本群の表現から、p進Teihimuller空間を作って、
複素数上の類似を考えることはできるだろうか？
あるいは、表現を考えるために、B_dRのようなp進周期環における表現を考える必要があるだろうか？
2009年12月29日火曜日
binary treeに対応するcantor setの対応
[1]Dirichlet forms and associated heat kernels on the Cantor set induced by random walks on trees
(http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/tree0.pdf)
[2]An introduction to Berkovich analytic spaces andnon-archimedean potential theory on curves
(http://math.arizona.edu/~swc/aws/07/BakerNotesMarch21.pdf)
について、関連することを記述する。
図を参照するために、
[3]Modular Index Invariants of Mumford Curves
(http://arxiv.org/abs/0905.3157)
も引用する。
[1]で記述されているCantor setをMartin boundaryにもつtree、
は、Mumford curveにおけるtreeとして解釈される。
K:p-adic field
P1:project line
Γ:g個の元γ_i(i=1,.,g)で生成されるShottky group
Γ+:γ_i(i=1,.,g)で生成されるモノイド
P1において、{0,1,∞}を固定する。
(reference pointΦを指定することに対応)
Λ_Γ:Γの極限集合⊆P1(K)
Λ_Γ+:Γ+の極限集合⊆P1(O_K)
ただし、γ_iは双曲元として、∞とP1(O_K)の元を固定点に持つようにとる。
[1]におけるΣがΛ_Γ+に対応するもので、
ΦのΓ+による軌道を結んで得られるtreeが[1]におけるTとなる。
Ω_Γ=P1-Λ_Γ,
X=Ω_Γ/Γ:Mumford curve coresponding to Γ
はP1のmetric d(x,y)からinduceされるmetric d(x,y)を持つ。
ri = d(Φ, γ_i(Φ))とすると、
これはspecial fibreの逆像がB(0,1)にどのように入るかを示す量であり、
0< ri <1となる。
例として[1]8.3-8.8におけるself-similar binary treeをとる。
[3]Figure7.におけるtreeのうち、a,bが正の方向を向いているものを取り出したものが、
対応する。
0< ri <1(i=1,2)より、[1]Th8.7の仮定は満たされている。
C(x,y)はMumford curveのmetricの逆を取ることに対応する。
* Dirichlet form
P1において、Berkovich空間として、
Laplacianが定義され、それに基づいて、Dirichlet formが定義できる。
(ただし、[2]におけるCPAもしくはBVDと関数空間はかなり狭く設定しておく。)
Laplacianは方向微分に対応しているから、d(x,y)=c(x,y)^(-1)と解釈して、
Tが正の方向のみを取り出していることに注意すると、
[1]p.3 Ε_w(f,f)の式が対応する。
また[1]におけるresistance metric R*はBerkovich空間としてのmetric dに対応し、
g_*(x,y)は、
[2](1.6.5) fundamental potential kernel relative to zに(第2,3項の補正がつくが)
対応する。
ここで、後者が3項からなるのは、P1におけるrational functionのdegreeが0でなければならないため、
Δ(f) = δ_y - δ_zと湧き出しと吸い込みを定式化に必要としているためである。
(Mumford curveXにおいては、automorphic functionがテータ関数を用いて具体的に構成できるために、直接g(y) = g_*(x,y)を構成できる、と思う)
* [1]におけるmeasure νの構成について
Λ_Γ+の位相の開基が、
Tの辺eに対してV(e)={eを通って極限に行く点}
により定まるため、積分は[3](7.33)と同様にして定義される。
(http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/tree0.pdf)
[2]An introduction to Berkovich analytic spaces andnon-archimedean potential theory on curves
(http://math.arizona.edu/~swc/aws/07/BakerNotesMarch21.pdf)
について、関連することを記述する。
図を参照するために、
[3]Modular Index Invariants of Mumford Curves
(http://arxiv.org/abs/0905.3157)
も引用する。
[1]で記述されているCantor setをMartin boundaryにもつtree、
は、Mumford curveにおけるtreeとして解釈される。
K:p-adic field
P1:project line
Γ:g個の元γ_i(i=1,.,g)で生成されるShottky group
Γ+:γ_i(i=1,.,g)で生成されるモノイド
P1において、{0,1,∞}を固定する。
(reference pointΦを指定することに対応)
Λ_Γ:Γの極限集合⊆P1(K)
Λ_Γ+:Γ+の極限集合⊆P1(O_K)
ただし、γ_iは双曲元として、∞とP1(O_K)の元を固定点に持つようにとる。
[1]におけるΣがΛ_Γ+に対応するもので、
ΦのΓ+による軌道を結んで得られるtreeが[1]におけるTとなる。
Ω_Γ=P1-Λ_Γ,
X=Ω_Γ/Γ:Mumford curve coresponding to Γ
はP1のmetric d(x,y)からinduceされるmetric d(x,y)を持つ。
ri = d(Φ, γ_i(Φ))とすると、
これはspecial fibreの逆像がB(0,1)にどのように入るかを示す量であり、
0< ri <1となる。
例として[1]8.3-8.8におけるself-similar binary treeをとる。
[3]Figure7.におけるtreeのうち、a,bが正の方向を向いているものを取り出したものが、
対応する。
0< ri <1(i=1,2)より、[1]Th8.7の仮定は満たされている。
C(x,y)はMumford curveのmetricの逆を取ることに対応する。
* Dirichlet form
P1において、Berkovich空間として、
Laplacianが定義され、それに基づいて、Dirichlet formが定義できる。
(ただし、[2]におけるCPAもしくはBVDと関数空間はかなり狭く設定しておく。)
Laplacianは方向微分に対応しているから、d(x,y)=c(x,y)^(-1)と解釈して、
Tが正の方向のみを取り出していることに注意すると、
[1]p.3 Ε_w(f,f)の式が対応する。
また[1]におけるresistance metric R*はBerkovich空間としてのmetric dに対応し、
g_*(x,y)は、
[2](1.6.5) fundamental potential kernel relative to zに(第2,3項の補正がつくが)
対応する。
ここで、後者が3項からなるのは、P1におけるrational functionのdegreeが0でなければならないため、
Δ(f) = δ_y - δ_zと湧き出しと吸い込みを定式化に必要としているためである。
(Mumford curveXにおいては、automorphic functionがテータ関数を用いて具体的に構成できるために、直接g(y) = g_*(x,y)を構成できる、と思う)
* [1]におけるmeasure νの構成について
Λ_Γ+の位相の開基が、
Tの辺eに対してV(e)={eを通って極限に行く点}
により定まるため、積分は[3](7.33)と同様にして定義される。
2009年12月22日火曜日
乗法モノイド
* Witt環
個人的にWitt環について解りやすい説明は、
ChaiのCartier-Dieudonne theoryのnoteで、
その中では、
universal Witt vectorsのなすgroupはGmのformal completionにおけるformal curves全体、
という視点で説明がされている。
w(1-aT)+w(1-bT)=w((1-aT)(1-bT))
w(1-aT)*w(1-bT)=w(1-a*bT)
を満たすような環構造を求めると、(少々複雑な)積の定義式が出てきて、
p-partをみると、よく知られたWitt環の定義式となる。
* adele class group
QのBost-Connes systemは、Q/Zをmonoid Nで割る、という形で導出される。
adeleの言葉に直すと、adele環を(Q-{0})*unitで割る、という形になる。
idele群を割ればclass groupが出てくるが、adele環を割っているので、
幾何的にはnon-Hausdorfな状況となる。
嫌な点は0であって、これが特異点となっている。
* 乗法モノイド
Characteristic one, entropy and the absolute point
(http://arxiv.org/abs/0911.3537)
では、乗法モノイドを用いて、Mo-schemeを定義している。
また一元体上のWitt環をmax plus代数を用いて定義している。
* tropical幾何
tropical幾何を一元体上のWitt環の上の幾何、とみなすことにより、
有限グラフの幾何をspecial fibreとして、
tropical curveを一元体上のgeneric fibreと解釈できるはず。
ここで、Crystalline的な話ができると面白い。
また、cantor集合を一元体上の幾何に埋め込んで解釈できれば面白い。
個人的にWitt環について解りやすい説明は、
ChaiのCartier-Dieudonne theoryのnoteで、
その中では、
universal Witt vectorsのなすgroupはGmのformal completionにおけるformal curves全体、
という視点で説明がされている。
w(1-aT)+w(1-bT)=w((1-aT)(1-bT))
w(1-aT)*w(1-bT)=w(1-a*bT)
を満たすような環構造を求めると、(少々複雑な)積の定義式が出てきて、
p-partをみると、よく知られたWitt環の定義式となる。
* adele class group
QのBost-Connes systemは、Q/Zをmonoid Nで割る、という形で導出される。
adeleの言葉に直すと、adele環を(Q-{0})*unitで割る、という形になる。
idele群を割ればclass groupが出てくるが、adele環を割っているので、
幾何的にはnon-Hausdorfな状況となる。
嫌な点は0であって、これが特異点となっている。
* 乗法モノイド
Characteristic one, entropy and the absolute point
(http://arxiv.org/abs/0911.3537)
では、乗法モノイドを用いて、Mo-schemeを定義している。
また一元体上のWitt環をmax plus代数を用いて定義している。
* tropical幾何
tropical幾何を一元体上のWitt環の上の幾何、とみなすことにより、
有限グラフの幾何をspecial fibreとして、
tropical curveを一元体上のgeneric fibreと解釈できるはず。
ここで、Crystalline的な話ができると面白い。
また、cantor集合を一元体上の幾何に埋め込んで解釈できれば面白い。
2009年12月7日月曜日
振り返りその3
来年に向けて行って行きたい作業
* 志村曲線
Mumford曲線の具体例として、志村曲線がある。
志村曲線の利点は、
- 離散群が具体的にわかる
- ヘッケ環の作用がある
- 極限集合がわかりやすい
- 粗moduli空間としての解釈がある
そこで、
1. Consani-MarcolliのSpectral triplesとして、志村曲線を適用して具体例を見てみる
2. special fiberの双対グラフ構造からBakerの手法で定まるラプラシアンと、Berkovich解析空間としての志村曲線に対して、カントール集合で用いられた手法が適用可能かどうか見てみる
3. Bost-Connes系のGL(2)の場合の拡張として、志村曲線の場合のBost-Connes系の計算を見てみる
という方向で進めて行きたい。
志村曲線の上に、ランダムウォークとラプラシアンが定まり、それがヘッケ環の固有値と関係してくれると非常に嬉しい。
また、志村曲線の上のQFTが、その上のランダムウォークを用いて定式化できるようであれば、
なお嬉しい。
* Berkovich空間
- Berkovich空間は、標語的には、
stable objectにはnorm
semi-stable objectにはsemi-norm
が付加され、semi-normsの同値類の中にはmultiplicativeなものが入る。
そのため、空間を捉えるには、
bounded multiplicative semi-normsの全体を持ってくればよい、
というものだった。
完全不連結な空間から局所弧状連結なハウスドルフ空間を作る、
という点で、
スキームだけではなく、
カントール集合やそのほかのフラクタル集合に対して、
それをdenseに含む空間を構成できないだろうか？
- Berkovich空間における積分
GL(2)におけるp進上半平面では、ポアソン積分とヒルベルト変換の類似があり、
Morita dualityやBreil dualityによる超関数の記述が可能だった。
ところが、Berkovich空間における積分は、ちょっと厄介である。
原因の一つは、semi-normの値域が超越的な元を含みえて、次元が不連続に変動する。
この辺りの現象をBerkovichの本によって理解してみたい。
* p進微分方程式
CFTででてくる微分方程式や、イジング模型の等モノドロミー変形
などをp進で考えたい。
そのために、p進での微分方程式を理解する必要がある。
とくに、モノドロミーについて感覚をつかみたい。
* 志村曲線
Mumford曲線の具体例として、志村曲線がある。
志村曲線の利点は、
- 離散群が具体的にわかる
- ヘッケ環の作用がある
- 極限集合がわかりやすい
- 粗moduli空間としての解釈がある
そこで、
1. Consani-MarcolliのSpectral triplesとして、志村曲線を適用して具体例を見てみる
2. special fiberの双対グラフ構造からBakerの手法で定まるラプラシアンと、Berkovich解析空間としての志村曲線に対して、カントール集合で用いられた手法が適用可能かどうか見てみる
3. Bost-Connes系のGL(2)の場合の拡張として、志村曲線の場合のBost-Connes系の計算を見てみる
という方向で進めて行きたい。
志村曲線の上に、ランダムウォークとラプラシアンが定まり、それがヘッケ環の固有値と関係してくれると非常に嬉しい。
また、志村曲線の上のQFTが、その上のランダムウォークを用いて定式化できるようであれば、
なお嬉しい。
* Berkovich空間
- Berkovich空間は、標語的には、
stable objectにはnorm
semi-stable objectにはsemi-norm
が付加され、semi-normsの同値類の中にはmultiplicativeなものが入る。
そのため、空間を捉えるには、
bounded multiplicative semi-normsの全体を持ってくればよい、
というものだった。
完全不連結な空間から局所弧状連結なハウスドルフ空間を作る、
という点で、
スキームだけではなく、
カントール集合やそのほかのフラクタル集合に対して、
それをdenseに含む空間を構成できないだろうか？
- Berkovich空間における積分
GL(2)におけるp進上半平面では、ポアソン積分とヒルベルト変換の類似があり、
Morita dualityやBreil dualityによる超関数の記述が可能だった。
ところが、Berkovich空間における積分は、ちょっと厄介である。
原因の一つは、semi-normの値域が超越的な元を含みえて、次元が不連続に変動する。
この辺りの現象をBerkovichの本によって理解してみたい。
* p進微分方程式
CFTででてくる微分方程式や、イジング模型の等モノドロミー変形
などをp進で考えたい。
そのために、p進での微分方程式を理解する必要がある。
とくに、モノドロミーについて感覚をつかみたい。
登録:
投稿 (Atom)