準備の論文を眺める その2

関数と値

ある空間上の関数に対して、その空間上の点における関数の値を対応させるには、 
- δ関数との叩きこみ(複素数体上ではCauchyの積分公式) 
- (環論的に)空間を局所化して、極大イデアルによる剰余を取る 
という方法がありうる。 
これらは基本的には環構造により定まるもの。 
こうした空間に対する操作を圏論的に扱おうとすると、 
どういった方法があるのだろうか?

Anabelian geometryの考え方は、 
空間に関する情報を全て数論的基本群の中に見出す、 
というものであったから、 
関数は何らかの位相群から定まるものであって欲しい。

Kummer理論

初等的なGalois拡大の理論の中で、 
具体的に拡大体を構成する方法として、Kummer拡大がある。 
これは、HIlbertの定理90により、 
体の乗法群の1次のGalois cohomologyが消滅するので、 
cyclotomyとAbel拡大を結びつけるもの。 
特に体として、Anabelian geometricな空間の有理関数体を取ると、 
空間の数論的基本群と群cohomologyと、 
Kummer拡大に対応するcohomology classを対応付けることが出来る。

Etale theta class

[EtTh]§1では、1点穴あき楕円曲線の場合に、 
具体的に theta functionに対応するcohomology class、 
etale theta classを構成している。(Prop1.3) 
さらに、関数体の有限次拡大Lに対して、 
対応するtheta functionのL値点での値の同値類と 
etale theta classが一致することを示している。(Prop1.4)

Mono-theta environment

[EtTh]§2では、Def2.13で(model)mono-theta environemntが定義されている。 
これは、tempered fundamental groupと同型な位相群からfunctroialに導出され、 
逆にmono-theta environmentからtempered fundamental groupが導出される。(Cor2.18)

Frobenioid

Mono-theta environmentはある種のFrobenioidという圏の性質を満たす。 
これによって、etale pictureとFrobenius pictureをtheta functionを通して、 
関係づけることが出来る。

Θ-link

[IUTchI]Example3.2で、 
theta functionとその値()元の楕円曲線のq-paramterに関係する値を用いて、

1. Frobenioidのcharacteristic splitting
2. splitした片方をtheta functionとその値の対応で対応付ける
3. Frobenioidを戻す

という操作を行い、Frobenioidのnatural equivalenceを与えている。

rigidity

上記の対応を行う際に、色々な時点で色々な不定性が生じる可能性がある。 
- etale theta functionの持つrigidityにより悪い不定性は起きないことを確かめる 
- Θ-linkのdomain/codomainに不定性を吸収する操作を入れる 
という2つのことを行い、 
Θ-linkがwell-definedであることが示される。

文献

• 論説 代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想
• Overview Panoramic Overview of Inter-universal Teichmuller Theory
• LocField A Version of the Grothendieck Conjecture for p-adic Local Fields
• AbsTopI Topics in Absolute Anabelian Geometry I
• AbsTopIITopics in Absolute Anabelian Geometry II
• AbsTopIII Topics in Absolute Anabelian Geometry III
• FrbI The Geometry of Frobenioids I
• FrbII The Geometry of Frobenioids II
• EtTh The Etale Theta Function and its Frobenioid-theoretic Manifestations
• pGC The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves
• IUTchI Inter-universal Teichmuller Theory I
• IUTchII Inter-universal Teichmuller Theory II
• IUTchIII Inter-universal Teichmuller Theory III
• Ogus Lectures on Logarithmic Algebraic Geometry

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座標系

位相群Gが何らかの構造を持ったMに作用していて、 
- MはGから復元できる 
- Mの同型類はGの同型類に+αしたものとbijection 
- GのM作用から+αの部分は復元できる

という条件が満たされていると、 
+αの部分をGに格納された座標系の情報と思うことが出来る。

局所体の絶対Galois群の+αの情報

[LocField]において、 
局所体の同型類と絶対Galois群の+αの情報として、 
上付き分岐群によるfiltration 
が挙げられている。

[AbsTopIII]のIntroductionでの例

[AbsTopIII]の§I3では、位相群Gとして局所体kの絶対Galois群をとり、 
その”rigidification”の例として、 
GのΠという双曲的曲線の副有限基本群への外作用 
が挙げられている。

[AbsTopIII]の§I4では、 
Π→Gという基本群の全射を取り、 
Mとして、k×を取っていた。 
そこで、座標系をスカラー毎に分解することに対応する操作、 
を例示していた。

局所体、複素数体での座標系に対応するもの

局所類体論により絶対Galois群のアーベル化はk×で記述される。 
それをcompactな部分群とnon-compactな部分群に分離することで、 
座標系の分離も行われたものと思える。 
分離された座標系のそれぞれの”rigidification”を行うことで、 
2次元実解析的な座標系における複素構造の導入、 
の類似を行うことが出来る。

Grothendieck予想

Gを実解析的多様体の類似と思うと、座標系の変形を記述するためには、 
まず接バンドル空間を定義する必要がある。 
Gというarithmeticな情報を幾何学的基本群というgeometricな情報をfiberとして拡大した、 
数論的基本群Πが接バンドルの類似として定義される。 
代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想 
に、Grothendieck予想に関する基本方針の説明がある。

座標系とGrothendieck予想の関係は、 
圏論から見た位相空間・正則構造 
圏論から見たリーマン面の変形 
p進Teichmüller理論の紹介 
にあるように、圏論的に構造を定義しなおして、 
群構造の同型を空間構造の同型と同値、 
という形で定式化している。

anabelioid

空間構造を圏の言葉で言い直そうとすると、 
- 必ずしも代数的に定義できる対象だけにかぎらずに空間構造を抽象化したい 
- stable curveのように複数の連結成分を持つ場合に対応したい 
という要望が出る。

そのためにanabelioidという概念が定義される。 
The Geometry of Anabelioids 
SEMI-GRAPHS OF ANABELIOIDS

anabelioidにおけるGrothendieck予想は、 
Combinatorial Grothendieck Conjecture 
でPSC-typeの場合に概念が整理されて定式化されている。

chains of elementary operations

空間構造に対して、 
- finite etale coveringを取る 
- finite etale quotientを取る 
- cuspを除く 
- stacky pointをcoarsifyする 
という操作があるが、 
Grothendieck予想の成立が伝搬する操作は何か? 
という問題が生じる。

文献

• LocField A Version of the Grothendieck Conjecture for p-adic Local Fields
• AbsTopIII Topics in Absolute Anabelian Geometry III
• pOrd A Theory of Ordinary p-adic Curves

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