Geometric transition

BPS categories and mirror symmetry

• [N=2] Four-dimensional N=2 Field Theory and Physical Mathematics
• [GE] Geometric engineering of (framed) BPS states
• [GT] Geometric transitions and integrable systems

[GE]§1.2 では、 
class Sのgauge theory([N=2]§7. Theory of class S)、すなわち、

• compact Riemann面Cとmarked points{pi}(ultraviolet curve)
• C上のgauge group Gと、marked points上のsingularityを指定したHitchin system

を対象としている。 
Hitchin system π:H→BからCalabi-Yau threefoldの族Y→Bを構成する、 
ということになる。 
構造群がSL2でmarked pointsがない場合、 
[GT]に記載されているように、 
B=H0(C,K⊗2) 
として、 
genericなu∈Bに対して、Seiberg-Witten curve Σu⊂T∗CとSeiberg-Witten (meromorphic)differential λuが定まり、 
non-compact Calabi-Yau threefold YuはΣu上のconic bundleとなる。

SL2とPGL2の対応、および、CY3に付随するintegrable systemsは、 
[GT]の5 Intermediate Jacobians and Hitchin Prymsで説明されている。

• A1-singularity(Klein型特異点の解消を曲線上で見ている)
• CY3に伴うintermediate Jacobianがpureであること、従って、complex torusより強くAbelian varietyとなること

となっている。 
疑問として、 
- p進の状況ではどうか? 特に、p-divisible groupの幾何的構造を用いた良い記述はあるか? 
- marked pointsがある場合、とくにirregular singularityの場合に、torally indigenous bundleの理論と対比させることが出来るか? 
が浮かぶ。

Seiberg-Witten

• Seiberg-Witten integrable systems
• Donaldson不 変 量 とSeiberg-Witten理 論
• インスタントンの数え上げと 
  ドナルドソン不変量

Hitchin fibrationとintegrable systems

• Quantum curves for Hitchin fibrations and the Eynard-Orantin theory
• Wall-crossing structures in Donaldson-Thomas invariants, integrable systems and Mirror Symmetry
• Geometric Transitions and Mixed Hodge Structures
• Intermediate Jacobians and ADE Hitchin Systems
• Lectures on the geometric Langlands conjecture and non-abelian Hodge theory

Written with StackEdit.

canonical curve

supersingular points

[W]MODULAR CURVES AT INFINITE LEVEL 
formal groupのdeformation

p-adic Teichimuller

• [KM](http://math.bu.edu/people/jsweinst/AWS/Files/KatzMazurArithmeticModuli.p
• [Mzk1]A Theory of Ordinary p-adic Curves

[Mzk1]ChⅢの一般論

• k:標数pの体、A=W(k), S/A:formally smooth p-adic formal scheme(geometrycally connected)の下で、A上のFrobenius作用ΦAとSへのFrobenius lifting Φについて、良い性質の場合の議論をしている。
• ordinary Frobenius liftingの定義(Def1.1)
• 0→F1(P)=ΩS/A→P→OS→0にintegrable connectionとFrobenius作用を定めてuniformizing objectを定義する。(Def1.3)
• uniformizing objectから標準的にGalois表現とp-divisible groupを定義する。(Def1.4,Def1.6)
• uniformizing objectからadditive period AΦを定義する。(Def1.5)
• Frobenius invariantな微分ωとbase pointの持ち上げzの情報から0→Qp/Zp(1)→Gω,z→Qp/Zp→0というp-divisible groupのextensionが定まる。Kummer theoryからω=dlog(uω)となる元が定義できる。(Th1.8)
• 与えられたk-valued pointのA-valued pointへの持ち上げで、ΦAによる底変換とΦ作用が整合的なcanonical lifting of pointsが定義できる。(Def1.9)
• canonical multiplicative parameterが定義できる。(Def1.11)
• canonical affine parameterが定義できる。(Def1.13)さらに、multiplicative paraemterと関係が付く。(Th1.15)
• ordinary indigenous bundleにはcanonical ordinaly Frobenius liftingが存在する。(Th2.8) 特に、k-valued pintに対応するp-adic quasiconformal equivalence class内にcanonical liftingに対応するcanonical curveが構成される。(Def3.1)
• 曲線のmoduliについて、p-adic quasiconformal equivalence classを指定するとlocal uniformization by the affine spaceが定まる(Th3.8)
• 更にtopological markingというRibbon graph(の辺の長さが退化した極限)に対応する値を指定すると、local uniformizationが2次微分から定まる。(Th3.12)
• 退化を見やすくし無限体積極限を記述できるparameterとしてcanonical multiplicative parameterが定まる。(Def3.13)

[Mzk1]ChⅣ canonical curvesの議論

• canonical curveにはZp上rank2のGalois表現が付随する。(Th1.1)
• ordinary locusには良いhorizontal sectionが存在する。(Th1.4)
• canonical curveのordinary locusにはcanonical Frobenius liftingが存在する。(Th1.6)
• ChⅢの一般論からSerre-Tate paramterが定義される。(Def1.7)
• Serre-Tate parameterからcanonical (log) p-divisible groupを構成する。(Def2.2)
• ordinaryなので楕円曲線の場合と同様、次元は1でheightも1。
• p-divisible groupの変形のmoduli probelmとして、 
  Γ(n),Γ1(n),Γ0(n)構造が定義され、 
  moduli関手はcoarse moduli schemeとしてregumar schemeにより表現可能。(Th2.4)
• (a,b)-cyclic isogeniesにより、Igusa curveに対応するものが構成できる。(Th2.5) ただし、楕円曲線の群構造を用いたmoduli関手からの定義ではない。
• ここでのsupersingularは、p-curvatureを用いたHasse invariantが消える点(ChⅡProp2.6での定義)による。Hitchin-fibrationと思うと、determinantが消える点になる。
• Y0=X0(n)Fpはn+1個のschemeX0(a,b)(a+b=n)のunionで、共通部分はsupersingular pointsとなる。(Th2.5)
• Frobenius作用素とp-divisible groupのisogenyとの関係は、canonicalityにより対応付けられる。(Th3.1)
• super singular divisor(ChⅡProp2.6)はetale(Prop3.2)
• local Hecke correspondenceは存在するがglobalにはめったに貼り合わない。これはof Hecke type->Fp2で定義される、という議論による。
• p-adic Green関数に対応する概念が定義される。(Fef4.18)これは、Drinfeld上半平面における木の分岐と整合的である。

疑問点

• supersingular pointsのlevel infinityによる極限を具体的にdeterminantを用いて記述できるか?
• 楕円曲線の場合は、[W]ProjectBの議論になる。
• ordinary locusにおけるdterminantの議論がさらに退化している部分ではどのように拡張されるのか?(Lubin-tate,anabelian,VF-patterns etc…)
• Hodge theaterを上半平面の数論的な類似と見ると、AdS3/CFT2対応が、log-theta latticeの類似と思える。だとすると、局所化したところで、p-adicなAds3/CFT2対応もあってしかるべきといえる。そのため、p-adicにCFT、つまりconformal blockと接続の構成が必要になる。さらに幾何学的Langlands対応がcanonical curveに対しては適用できないか?
• absolute anabelianが純粋に情報だけを保持して幾何学的な実体をバラバラにするという意味で、ブラックホールをすり抜けているのだとすると、エンタングルメントエントロピーに対応する量が存在してしかるべきといえる。では、Riemann面におけるエンタングルメントエントロピーの計算をBelyi mapをもつ代数曲線の場合にp-adicに計算出来ないか?

Written with StackEdit.