グラフの退化

曲線のモジュライのコンパクト化に関係して、
- グラフの一つの辺が退化していくことを、Mumford curveの退化として記述できるだろうか？
という疑問がわく。

安直に考えると、
Discrete groups, Mumford curves and Theta functions
(http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AFST/AFST_1992_6_1_3/AFST_1992_6_1_3_399_0/AFST_1992_6_1_3_399_0.pdf)
にあるtheta関数をΓから乗法群へのHomをとるだけではなくて、
Γ+から体へ0も許してmonoidのHomをとって、
log構造を考えればよさそうだ、
と想像できる。

では、曲線の退化をlog構造で記述するためのわかりやすい説明はどこかにないだろうか？
まずは、
Logarithmic geometry
(http://folk.uio.no/rognes/yff/ogus.pdf)
で勉強してみることにする。

もしこれができたら、対応してBerkovich空間が構成できるかどうか？という問題が生じる。
また、
curve全体では面倒そうなので、超楕円曲線に限ってモジュライを考えるとすると、
periodの性質を見ないといけない。
"Schottky Groups and Mumford Curves"(Gerritzen & van der Put)p282
にWhittaker groupがtotally split hyper elliptic curveに対応する
という記述があり、
Universal periods of hyperelliptic curves and their applications
(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1002-9.pdf)
に超楕円曲線の場合の退化が記述されているので、
これをみてみることにする。

また、
Tata lectureⅡ(Mumford)にあるThomae formulaを
EXPLICIT MUMFORD ISOMORPHISM FOR HYPERELLIPTIC. CURVES
(http://www.math.leidenuniv.nl/~rdejong/Mumford2.pdf)
により復習することにする。

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Log smooth deformation and moduli of log smooth curves
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kato/Data/moduli.pdf
が参考になりそうだ。

Coverings in p-adic analytic geometry and log coverings I: Cospecialization of the (p')-tempered fundamental group for a family of curves
http://arxiv.org/abs/0909.2805
に、log退化を含めた曲線族の話があった。