Teichmuller curve

Trees and the dynamics of polynomials
http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/trees/trees.pdf
をみると、
複素解析的にtreeと有理関数から生じる力学系を関連付けることができるようだ。

また、複素解析的には、
Teichmuller curveという概念がある。
リーマン面からリーマン面のmoduliへの写像がlocal isometryという条件によって定義されるが、
Rigidity of Teichm¨uller curves
(http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/rigidity/rigidity.pdf)
によるとTeichmuller curveは変形を持たず、数体上で定義される。
逆に、
Every curve is a Teichmuller curve
(http://arxiv.org/abs/0909.1851)
によると、
数体上定義される代数曲線は、Teichmuller curveと双有理同値になる。
こちらは、P1-{0,1,∞}上の分岐被覆として実現できるというBelyiの定理を用いている。

数体上の代数曲線、という概念が解析的に特徴付けられたように見えるが、
これは、何らかの変分法として特徴付けられるだろうか？

Teichmuller curveをさらにJacobianをとって、A_gへの写像とみなすと像がどうなるか？
ということに関して、
Variations of Hodge structures of a Teichmuller curve
(http://arxiv.org/abs/math/0401290)
があった。
Higgsバンドルの言葉で特徴付けている。
特徴づけの中にreal multiplicationが現れるので、
志村曲線であるTeichmuller curveはどれだけあるか？
と気になるが、
それは、
Shimura- and Teichmueller curves
(http://arxiv.org/abs/math/0501333)
で極めて少数であることが示されている。

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三角群を絡めたサーベイとして
Teichmuller spaces, triangle groups and Grothendieck dessins
http://www.mth.kcl.ac.uk/staff/wj_harvey/HstrasL.pdf