トポロジーからのループ群

* 無限対称積と中心極限定理
中心極限定理は、平均0、有限分散の独立同分布の和の極限分布の弱収束を主張する。
一方、Dold-Thomの定理は、
空間のホモロジーが無限対称積のホモトピー群で表せることを主張する。
Symmetric products of surfaces; a unifying theme for topology and physics
(http://arxiv.org/abs/math/0408417)

リーマン面の構造は、
基本的に一次の(コ)ホモロジー群のカップ積、
あるいは周期により統制されるので、
ガウス分布とリーマン面は類似のもの、とおもいたくなる。

また、
n-simplexは[0,1]のn次対称積なので、
∞-simplexを[0,1]の無限対称積と見ることは、
path空間を考える上で興味深いと思われる。

* Witt vector
WITT VECTORS OF NON-COMMUTATIVE RINGS AND TOPOLOGICAL CYCLIC HOMOLOGY
(http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~larsh/papers/006/)
では、非可換な場合のWitt vector(この場合は環にはならない)を構成していた。
Frobenius写像、Verschiebung写像も定義される。


* ホッジ構造
Hodge　to deRham スペクトル系列のE1退化について、
代数多様体の場合には、超越的な方法とは別に、
標数pを経由して、Cartier写像を見ることで示す方法がある。
ex. de Rham complex の分解について:Deligne - Illusieの結果の紹介(Frobenius写像の可換環論への応用)
(http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/101722)

この方法は、
Non-commutative Hodge-to-de Rham degeneration via the method of Deligne-Illusie
(http://arxiv.org/abs/math/0611623)
により、
Hochshild cohomologyとCyclic cohomologyの関係
ついて、拡張された。

* 複素コボルティズム
Complex cobordism and algebraic topology
(http://arxiv.org/abs/0707.3216)
をみると、
1次元formal group lawと乗法的コホモロジーとが結びつき、
乗法的コホモロジーの親玉として、
複素コボルティズムが現れる。
formal groupの自己同型群Γは、
Aut(R((z)))の形をしている。
ここから自然にWitt環と結びつく。

1次元formal group lawのstackは、
elliptic curveの原点から作られるものを
含むため、
それに対応するコホモロジー理論
が気になってくる。

* 楕円コホモロジー
A Survey of Elliptic Cohomology
http://www-math.mit.edu/~lurie/papers/survey.pdf
では、
楕円曲線に対応するコホモロジー理論
についてのsurvey。
Derived algebraic geometryの言葉を用いている。

スキームがnon-reducedを含むことにより、近傍や交わり、特異点
の記述を透明にしたように、
higher homotopyを無限小近傍とみなすことで、
物事を透明にするようだ。

とくに5.2 Loop group representation
にある、elliptic curveが退化していく場合の扱い、
G-同変楕円コホモロジーがG-同変K理論に退化していく場合に、
Gの表現とLGの表現が結びつく、
という話が興味深い。

What precisely are $E_{\infty}$ ring spaces and $E_{\infty}$ ring spectra?
(http://arxiv.org/abs/0903.2813)
に、基本となる$E_{\infty}$ ringの解説がある。

* Topological Modular Form
Topological modular forms (aftern Hopkins, Miller, and Lurie)
(http://arxiv.org/abs/0910.5130)

楕円曲線のmoduliの大域切断が保型形式だったので、
Derived stackとしての楕円曲線のmoduliの大域切断
が何なのか気になってくるが、
それをTopological modular formと定義して、
Witten genus等との関係を説明している。

保型形式をp-adicに調べる際には
楕円曲線に付随する、p-divisible groupが役に立った。

Topological modular formの整数環上の基底や、
ヘッケ環との関係、Galois群との関係、
など、気になる。

また、楕円曲線がでてきたのは、
1次元formal group lawということからだったが、
高種数の曲線のヤコビアンからできるformal group lawと、
なんらかのコホモロジー理論を対応させて、
Derived Teichimuller空間なんていうものができると、
とっても楽しい。


* Witten genus
The Witten genus and vertex algebras
(http://arxiv.org/abs/0811.1418)

QUOTIENT OF A LOOP GROUP AND WITTEN GENUS
(http://adsabs.harvard.edu/abs/2001JMP....42.1364L)


LOG THH AND TC
(http://folk.uio.no/rognes/yff/rognes.pdf)