サマースクール復習その1

小谷さんのサマースクール講義の復習
(ただし、一番重要な3日目の講義を寝倒したため、
講演者の意図とずれた形で理解している箇所が多々あるはず)

* 参考
1次元シュレーディンガー作用素における無反射性に関連する話
(http://www.eonet.ne.jp/~kotani/kennkyuu.files/touhokuseminar.pdf)

* 問題
1次元シュレーディンガー作用素において、
スペクトルが絶対連続スペクトルのみの場合、
ポテンシャルは概周期関数であるか？

* 問題の根拠
- ポテンシャルqを与えたとき、
qが簡単な形の場合には、
qは概周期関数になる。

既存の例でわかっているのは、
- n-KdV(nodeを特異点として無限個許す有理曲線)
- 周期関数(無限種数も含む超楕円曲線)


* 根拠の佐藤理論による言い換え
- Segal-Wilson型の佐藤理論の一般論(記号はSWを流用)
W∈Gr(H)のΓ軌道をみる。
軌道が有限次元のとき、代数曲線Cが存在し、
一般化されたヤコビアンJac(C)について、
ΓW->Jac(C)という全射が存在する。
Wに付随するτ関数τ_{W}(g)はJac(C)上の概周期関数である、
テータ関数として実現される。

- シュレーディンガー作用素の場合の制限
1. ポテンシャルは実数値関数である
リーマン面が対応するとすれば、
それは実構造をもっている。
2. 作用素の主要項が-(d/dx)^2を持つ
したがって、リーマン面が対応するとすれば、
それは、射影直線への2重被覆となっている。
また、固有値の形はλ=-z^2。

- シュレーディンガー作用素の場合の制限から来るWの条件
1. Wは実構造と両立する必要がある
2. W∈Gr(2) i.e. z^2W⊂W