サマースクール復習その2

* 簡単な場合の説明
シュレーディンガー作用素の離散版が、Jacobi行列。
さらに、(-∞,0]∪[0,∞)という時間の分解に対応して、
a)有限行列、
b)行列を正の添え字のみ考える半無限行列、
c)正負両方の添え字を考える両無限行列、
がある。

a)
Jacobi行列のスペクトル測度について、
essential supportが有限集合であることと、
Jacobi行列が有限行列であること、
は同値。
(ex. Deift Orthogonal Polynomial and Random Matrices 2.5)

b)
半無限Jacobi行列は、連分数と関係する。
(ex. Deift Orthogonal Polynomial and Random Matrices 4.3)
この連分数との関係は、
いわゆるm-functionをみることで具体的になる。

Jacobi行列のスペクトル測度の絶対連続部分のsupportが、
区間の有限和になる場合をみる。

区間の有限和をIとする。
C-Iは単位円を普遍被覆面に持つので、話を単位円上に引き戻して考えるのが効果的。

この方針で話を進めているのが、
Finite Gap Jacobi Matrices, I. The Isospectral Torus
(http://arxiv.org/abs/0810.3273)
で、m-functionを、被覆群に付随するテータ関数で具体的に書き表している。
この辺りの議論は、Gerritzen van der Putの本の議論とも類似していて、
Berkovich上半平面で同等の議論をしたくなる。
無論、そのためには、
- スペクトル測度
- Blashcke積
といった辺りをきちんと見る必要がある。