サマースクール復習その8

* inner function, outer function
Banach Spaces Of Analytic Functions
(http://www.archive.org/details/banachspacesofan032699mbp)
のChapter 5にinner function, outer functionによる、
bounded holomorphic function on D(unit disc)の分解が説明されている。

A={f|D上hoomorphic, ∂D上連続}
とすると、f->f|∂D, μ->ポアソン核との畳み込み
により、
Aと{∂D上の連続関数で正のフーリエ係数が消える}
が対応する。
連続性を緩めて、
H^{p}={∂D上のL^{p}関数で正のフーリエ係数が消える}
とする。
f∈H^{1}のとき、
F(z)=exp{1/(2π)∫{-\pi}^{\pi}(e^iθ+z)/(e^iθ-z) log(|f(e^iθ)|)dθ}
とすると、FはD上の正則関数でとくにH^1に入る。

inner function: D上正則 |値|<=1 |境界での値|=1
outer function: k(θ)(∂D上の可積分関数)を用いてF(z)=const * exp{1/(2π)∫{-\pi}^{\pi}(e^iθ+z)/(e^iθ-z) k(θ) dθ}
とすると、
H^1の関数はinner functionとouter functionの積で書ける。
さらに、
inner functionはBlaschke積とsingular function(原点で正,Dで零点を持たない)の積で書ける。(p67)

* Jacobi行列のHerglotz関数の分解
A canonical factorization for meromorphic Herglotz functions on the unit disk and sum rules for Jacobi matrices
(http://www.math.caltech.edu/papers/bsimon/p288.pdf)
では、
Meromophic Herglotz functionについて、
Blaschke積とouter functionに分解されることを示している。

そこで、問題になるのは、J:Jacobi行列、J1:Jの第一行、第一列を取り除いた行列
について、それぞれのm-functionの関係であるが、
z->(z+1/z)により、引き戻したM-functionをみると、
(1.31)のような関係がある。

* OPUCの場合のm-functionの類似
Analogs of the m-function in the theory of orthogonal polynomials on the unit circle
(http://www.math.caltech.edu/papers/bsimon/xlii.pdf)
の§6に、
- Caratheodry function
- Schur function
と、それが何の類似かがまとめられている。

* 疑問
小谷さんの予稿集では、
q:ポテンシャル
->
σ:スペクトル測度
->
m-function
->
W
と対応させていた。
J->J1とすると、m,m1が対応するが、
さらに、W,W1とGr_{res}(2)内の空間が動く。
finite gapの場合、これはisospectral torus内の移動を引き起こすが、
ちゃんとそれを書き下してみること。

とくに、q=-m(m+1)p (pはWeirestrassのペー関数)
というLame型のポテンシャルのとき、
モノドロミー群はSchwarz triangleとして書き下せる。
この場合、きちんと書き下せるだろうか？