サマースクール復習その4

* 幾何学的Langlands対応とゲージ理論
Gauge Theory and Langlands Duality
http://arxiv.org/abs/0906.2747
では、幾何学的Langlands対応でLanglands dualが現れる状況、
すなわち、G^{L}-局所系(Lは左側につく)の導来圏とG-束のmoduli上のD-加群の導来圏
の対応、
の状況と、
4次元ゲージ理論の第一近似として、４次元空間が\sigma*Xと二つのRiemann面の積で書ける場合の、
S-dualityをSYZ対応によるT-dualityへの還元、
の状況、
が類似であることを説明している。
これらは不分岐表現についてであるが、分岐についても考慮すると、
自然にendoscopyがでてくる。

Global topology of the Hitchin system
http://arxiv.org/abs/1102.1717
は、Hitchin fibrationとして現れる空間のcohomologyのサーベイ。

* curveの量子化
Quantization via Mirror Symmetry
http://arxiv.org/abs/1011.2218
では、ミラー対称性を通して、
量子化をB-model側の代数的にわかり易い言葉で記述しようとしている。
A-polynomial, B-model, and Quantization
http://arxiv.org/abs/1108.0002
では、
curve(trigonometric多項式で定義される代数曲線)の量子化を定義し、
その分配関数を行列積分の言葉(1.12)で書き下そうとしている。
興味深いのは、このsettingで量子化可能かどうかが、
(2.51)において、
その代数曲線の代数関数体について、
最初のA-polynomialの座標のペアが、
MilnorのK2群の元に移してtorsionであるかどうか？
というかたちで判定がされている点。
代数関数体のMilnorのK2の再考にも繋がるだろうし、
トロピカル曲線に落としての判定も面白そうだ。

* affine Crystalの幾何的実現
UHLENBECK SPACES VIA AFFINE LIE ALGEBRAS
http://arxiv.org/pdf/math/0301176
では、instantonのmoduliのコンパクト化の代数化として、
Uhlenbeck spaceを定義し、
その性質を利用して、Kashiwara crystalを
Crystals via quasi-maps’ spaces
で定義している。
quasi-mapの概念は、bundle mapを連接層のmapに緩めて、
cokernelにfinite lengthの層を許す、
というもの。

INSTANTON COUNTING VIA AFFINE LIE ALGEBRAS II: FROM WHITTAKER VECTORS TO THE SEIBERG-WITTEN PREPOTENTIAL
http://arxiv.org/abs/math/0409441
でprepotentialのinstanton partを計算している。