Tau functions, random processes and fermions on a lattice
(http://www.crm.umontreal.ca/SIDE8/pdf/Harnad_slides.pdf)
では、タウ関数とSchur processの関係についてまとめている。
SCHUR DYNAMICS OF THE SCHUR PROCESSES
(http://arxiv.org/abs/1001.3442v1)
では、Schur processを保つMarkov連鎖を定義している。
ここで、Schur processの例として、U(∞)の指標から
A型のhighest weight pathの空間に確率分布を定めている。
Tropical Combinatorics and Whittaker functions
(http://arxiv.org/abs/1110.3489)
では、
組み合わせベーテ仮説で出てきたRSK対応と
上記のSchur process,Whittaker functionとを関連づけている。
箱玉系のソリトンが幾何的な背景があれば、佐藤グラスマンをループ群と見た時の離散化したものと関係づくはずなので、
Whittaker functionが出てくるのもおかしくない。
16 件のコメント:
なんか面白そうですね。ところで、私自身は無縁の研究会なんですが、京都でこんなのやってますが、関係ありそう？
http://web.hc.keio.ac.jp/~minami/nminami/workshop/2011.pdf
Vicious Brownian motion with Toda lattice potential and O’Connell’s process.
このO'Connellって、大昔にLitteltman path transform とかいうのを、貴殿のブログでとりあげてませんでしたっけ？
Info: この辺はあなたの興味を引きますかね？
1)Tree 上の random walk と $p$-adic number 上の Dirichlet form
2) Zeros of random analytic functions
http://www.math.tohoku.ac.jp/~aida/workshop/H23-Daisympo/H23-Daisympo.html
さて、じゃあ今週末にでも、あなたがリンクした３本を読んでみますか。もうちょっと解説してよ。ワタスはど素人なんだし。
あと、砂糖グラス満にかんする、やさしいサーベイなんかはあるんでしょうか。なにか推薦していただけますか？
>このO'Connellって、大昔にLitteltman path transform とかいうのを、貴殿のブログでとりあげてませんでしたっけ？
Littelmann paths and Brownian paths
http://arxiv.org/abs/math/0403171v2
ですね。
以前、KTRさんのアファインワイル群の対称性をもつブラウン運動の話を取り上げたことはありますが、
この論文の内容の記憶はないです。
というか、本当は関連あるのは専門家からすれば当たり前だけど、私の知識戸の魚力ではそこまで把握できなかった、
というのが本当のところでしょう。
情報ありがとうございます。
いやぁ、勉強すればするほど、
数学っていろいろ結びついているんですね。
最先端でしのぎを削っておられる方達は苦しいでしょうが、その成果を鑑賞する側からすれば、
緊密に結ばれた糸をたどる喜びは、何物にも代え難いものです。
>砂糖グラス満
よいsurveyはあるか？
と聞かれるとなかなか難しいです。
佐藤グラスマンをLoop groupの立場から眺めると
見通しがよくなる、
ということに最近ようやく気がつきました。
(物わかりが悪くて実に情けないです。Segalはそもそも最初からLoop groupの立場で記述していたのでした。)
Loop groupとしてみようとするとき、
本質的に同じことを示しているんだけど、
使用する言葉使いが違う、
ということが起きていますね。
記述する言葉として、
1)formalな代数としての記述
2)解析的な記述
があります。
1)の立場では、ind-schemeの言葉とdeterminantal gerbを用いる記述、ということがあげられます。
論文では、
Formal loops II: A local Riemann-Roch theorem for determinantal gerbes
http://arxiv.org/abs/math/0509646v1
があります。
この立場は、代数的な言葉がいろいろ使えるので、
特性類や代数的K群を用いた障害の記述が比較的容易である、と(私は)思っています。
一方解析的な記述の方では、
Loop groups(Pressley Segal)
あるいは、
Loop groups and equations of KdV type
(SegalWilson)
がやはり読み易いと思います。
Topological QFTの記述のためには、
Chern-Weil代数および
differential character
(smooth Deligne cohomology)
と言った言葉と結びつく必要があります。
K群の記述やChern-Simonsの話には、解析的記述、
あるいはC^{¥infty}の立場での記述というのがよいんでしょう。
(無論、対応する代数の言葉も現在構築されつつあるとは思います)
また、佐藤グラスマン多様体のcell分割とヤング図形の話、
schur多項式、
ということになると、
前記Segal-Wilsonに加えて、
Symmetric functions and random partitions
http://arxiv.org/abs/math/0309074v1
Infinite wedge and random partitionsのAppendix
http://arxiv.org/abs/math/9907127v3
が楽しいと思います。
Schur多項式とタウ関数の関係の具体的な説明は、
Integrable Systems and Riemann Surfaces Lecture Notes(Dburovin)
の
3.5 KP and Schur polynomials
3.6 Sato formulation of KP hierarchy and tau-functions
があります。記述は解析的な方法を使っていて、擬微分作用素が出てきますが、単なる代数的な扱いに終始するので、あまり気にならないと思います。
Random行列との関係は上記の
3.7 “Infinite genus” extension: Wronskian solutions to KP, orthog- onal polynomials and random matrices
と、
Lectures on the Asymptotic Expansion of a Hermitian Matrix Integral
http://arxiv.org/abs/math-ph/9811023v1
が良いのではないでしょうか？
さて、テータ関数のようなある意味で代数的なタウ関数があるのとは別に、
モノドロミー保存変形のタウ関数、というものも定義されます。
後者のタウ関数が、なぜタウ関数と呼ばれるのか、
私はよくわかっていなかったのですが、
Tau-function of discrete isomonodromy transformations and probability
http://arxiv.org/abs/0706.3073v1
にある、
"in random matrix theory the τ-function appears as the gap probability — the probability that no eigenvalues of the random matrix are present in a union of intervals. This fact can be seen as one reason why the gap probabilities for one-interval gaps are often expressible through solutions of the classical Painlev ́e equations"
が参考になるのでは、と思います。
(といいつつ、この論文序文を眺めただけです。すいません。)
モノドロミー保存変形の変形方程式から、Lax表示が出てくるのは、
パンルヴェ方程式(岡本)
の命題3.4とそのあとの注釈(3.11)にあります。
tokorode, またまた素朴な質問だけれど、去年のサマースクールで貴殿が一番気に入っていたネタとこれとは、からんでくるわけ？
くるとすれば、どんな感じで？
http://www.math.tohoku.ac.jp/~aida/workshop/H23-Daisympo/kigami.pdf
面白そうな話ですね。
情報ありがとうございます。
熱核の具体的な記述、がどれだけ具体的なのか、興味あります。
一方で、p進体上のブラウン運動の時間として、p進時間を取るのも自然だと思うので、
時間の違いによる熱核のずれ、
を、例えば、p進距離とアルキメデス距離をつないで議論する、など、面白いのでは？
http://www.math.tohoku.ac.jp/~aida/workshop/H23-Daisympo/shirai.pdf
こちらは、
Not Found
が燦然と輝いています。
>tokorode, またまた素朴な質問だけれど、去年のサマースクールで貴殿が一番気に入っていたネタとこれとは、からんでくるわけ？
>くるとすれば、どんな感じで？
視点としては、
佐藤グラスマンをループ群の立場で見た時、
超離散化に対応して、パスも超離散化に対応するものがあるだろう、
というものです。
1. 以前、確率面積を離散的なものの極限として計算しようとして放置しているのですが、
正方格子の上のパスとしてヤング図形のほとんどが半円の近くにくることから、確率面積の無限積の一つの項がでてくるのでは？
と妄想しています。
2.アファインLie群をいったん量子群に上げて結晶化したものがクリスタルで、組み合わせベーテ仮説や箱玉系は、
クリスタルの上に住んでいるのでした。
クリスタルに対する操作としてSchur processが関連してきて、箱玉系の動作に対して見通しがよくなるのでは？
といった辺りでしょうか。
almost periodic potentialといった部分に直接絡むようなことはないと思います。
こちらはむしろパンルヴェのようななんらかの超越性との関連が必要でしょう。
いろいろと情報どうも。
>一方で、p進体上のブラウン運動の時間として、p進時間を取るのも自然だと思うので、
確率論は知らんのですが、こんな感じでしょうか？
http://www.econ.hit-u.ac.jp/~finmodel/events/pdf/Kamizono_6.pdf
ところで、あなたの先輩で、あなたの人生を狂わせた人(DX TJ)が、このウェブページを察知していましたよ。
ダイマー、パーフェクトマッチング＝ドミノタイリングなどについて、書いたことありましたっけ？
どう思ってます？
最近、ダイマー君の変種でbipartiteでない場合が気になってきてね、、、、
>あなたの人生を狂わせた人
いや、これは、私が自分でのめり込んでいったので、
別段誰が原因ということではありませんよ。
まぁ、その当時、同じような問題意識を持つ仲間が周りにいない、もしくはそのような人脈を作り得なかった、
という寂しさと、徒労感、といったものが、ありましたが。
院生さんには、精神面での孤立感に対するケアは重要ですね。
むしろ、子供以上にケアが必要な時期だと思います。
> どう思ってます？
とりあえずは、
http://aka0.blogspot.com/2011/10/5.html
の
Dimers and cluster integrable systems
(http://arxiv.org/abs/1107.5588)
1.5 Analogies between dimers, Teichmu ̈ller theory and cluster varieties
にあるように、上部構造(ポアソン構造とかスピン構造とか)
を持つ場合、が、ダイマーだと認識しているので、
その構造がない場合は、いってみれば、
複素多様体ではなくリーマン多様体を扱う、
といった感じで、代数で扱うには柔らかすぎるような気がします。
とはいえ、私は素人ですので、
匿名さんの方がお詳しいと思います。
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