代数曲線のHall代数

The Hall algebra of a curve
http://arxiv.org/abs/1201.6185v1
有限体上の完備代数曲線Xに対して、その上の連接層のなす圏から、
Hall代数を構成する。
Hall代数の代数的双対には余積が定義できるが、
propernessからHall代数そのものに余積が定義できる。
hereditaryであることと、Cartan形式によりbraided categoryになり、
積と余積が整合的である。
torsion sheavesからできる代数はHecke代数になる。

H:ベクトル束のHall代数
H_{coh}:連接層のHall代数
A:tosion sheavesのHall代数(=Hecke代数)とすると、
H_{coh}はHのAによるcross積になる。
また、Aは各点でのHecke代数A_{x}のテンソル積になり、
Spec(A_{x})=local Witt schemeである。
これは、ring schemeでもある。
よって、Spec(A)は(global)Witt schemeとなる。
Aの指標はL関数を定める。
(global)Witt schemeのring schemeとしての構造は、
L関数の積構造を与えるが、これが、
Rankin-Selberg methodとなる。

Hall代数の元はベクトル束のmoduli上の関数とみなせるので、
Weil起源のmoduliのアデールによる記述から不分岐保型形式と思える。
保型形式の積は、parabolic inductionに対応する。
保型形式がcuspidalということはHall代数の元として、
primitiveであることになる。
Hall代数において、保型形式に対してHecke代数が作用するのは、
元々のHall代数の積構造を通してである。
よって、Hecke eigen cusp formという条件を考えることができる。
Hecke eigen cusp forms全体に対応するWitt schemeの部分schemeをΣ
とすると、
HをΣによるshuffle代数で記述することができる。


STANDARD MODELS FOR FINITE FIELDS
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/na/FoCM/FoCM08/Talks/Lenstra.pdf
有限体の拡大に対して、標準的な操作を記述している。


On the arithmetic of the BC-system
http://arxiv.org/abs/1103.4672v1
整数環の上のHall代数は未だに定義できていないが、
BC系と関係はつくのだろうか？


The universal thickening of the field of real numbers
http://arxiv.org/abs/1202.4377v1
p進Hodgeに対応する周期環を実数体に対して、構成している。
ただし、hyperfieldの概念を用いている。
6.3 Table of correspondences with p-adic Hodge theory
をみると、
実数体のWitt環を{0,1,-1}を剰余体とするhyperfieldとしている。
また、p乗の代わりに累乗により射影系を定義している。
また周期環は、有限測度のラプラス変換になる。