有理整数環上のHall代数

The spherical Hall algebra of Spec(Z)
http://arxiv.org/abs/1202.4073v1
正定値二次形式と格子の組を整数環上のベクトル束と見なして、
その上のHall代数を構成している。
代数曲線の場合にベクトル束のHall代数がshuffle代数で記述できていたので、
同様の記述を試みている。
ただし、無限素点の存在とL関数のmeromorphicな性質により、
実解析的な考察が必要になり、
shuffle代数の記述にPayley-Wiener型の議論が必要になる。
L関数の関数等式は、GL(n,R)の保型形式の関数等式が対応する。

代数曲線の場合と同様、直線束で生成される代数(Spherical Hall algabra)を調べることが、
第一歩となるが、
整数環の場合は、生成元として、Eisenstein-Selberg級数がとれる。
関係式として、2次のものを調べると、Eisenstein級数の関数等式がでてくる。
代数曲線の場合に種数が1以上でH^{1}がnon-trivialの場合、零点に対応して、3次の関係式が現れる。
整数環の場合も2次の関係式で閉じていないが、
3次の場合は、Th7.7で
the space of new cubic relations in SH modulo rescaling is identified with the space spanned by nontrivial zeroes of ζ(s)
と記述されている。


* 多重L関数と、Whittaker模型
Whittaker vectors of the Virasoro algebra in terms of Jack symmetric polynomial
http://arxiv.org/abs/1003.1049v2

Archimedean L-factors and Topological Field Theories I
http://arxiv.org/abs/0906.1065v2

Archimedean L-factors and Topological Field Theories II
http://arxiv.org/abs/0909.2016v2