有理Cherednik代数

From Double Hecke algebra to analysishttp://arxiv.org/abs/math/9806097v2

Representations of rational Cherednik algebras
http://arxiv.org/abs/math/0504600v2
Hecke代数の階層として、
0次元:Weyl群 <-> 有限Hecke代数
1次元:nilpotent part <-> affine Hecke代数
2次元:包絡環 <-> double affine Hecke代数
と思える。
幾何学的実現は、finite,affine Hecke代数については、
Chriss-GinzburgによるWeyl群の群環のSteinberg多様体上の同変K群による表現
曲線のHall代数またはLusztigによる構成
があったが、DAHAについて、幾何学的実現があるか？
という問題意識がある。
DAHAの前に、それが退化した形で有理Cherednik代数
を見るのが自然のようだ。

量子群の場合結晶基底の概念があったが、
有理Cherednik代数の場合はどうか？
という疑問がおこる。
そのために、まず表現論を見る必要がある。

有理Cherednik代数の表現論は、
highest weight categoryとして捉えられる部分がある。
すなわち、
多項式環を二つ用意して、それぞれに群を作用させたものを、
一方の多項式環を微分作用素と見なすのが有理Cherednik代数であるから、
Verma加群に対応するもの、
有限列をもつこと、
既約表現の具体的な構成、
sl2-tripleの構成
がある。

Lecture notes on Cherednik algebras
http://arxiv.org/abs/1001.0432v4
の3章では、
PBW型の基底の表示と
表現論の証明の概説があり、
3.14で群が巡回群の場合の例がある。
4章では、行列積分と多項式表現から定まるsymmetric formのdeterminant因子での値を結びつけている。
有理Cherednik代数の中心の値に関する漸化式として示している。
これから、ガンマ関数の一般論を援用して、
The Macdonald-Mehta integralを示している。
(行列積分とCohomological Hall代数との関係、それと有理Cherednik代数の関係
と、このあたりの代数系のつながりが、Shiffmann-Vasserotの話と絡めて気になるところだ。)

共形場理論では、KZ方程式により、
Braid群の作用を考えることができたが、
有理Cherednik代数の場合も、discriminant divisorで局所化することにより、
Euler作用が0の加群からBraid群に関する局所系に対応させる
KZ-functorを考えることができる。

Microlocalization of rational Cherednik algebras
http://arxiv.org/abs/0705.1245v2
F-actionの概念が導入されている。
有理Cherednik代数とそのspherical subalgebraが
森田同値となることを利用して、
spherical subalgebraの量子化を行う。

Representation theory of the rational Cherednik algebras of type Z/lZ via microlocal analysis
http://arxiv.org/abs/1003.3407v2
巡回群の場合の有理Cherednik代数の表現論を、超局所解析を用いて
アーベル圏として同値な圏に移している。