グラフィカルモデル

確率分布の中で、具体的に計算ができて性質がよくわかるものをbuilding blockとしたい。
そのために、基本的な確率分布を列挙する。

Bernoulli分布
2値変数に対して、定義される。
2値ではなく自然数値にすると2項分布になる。
A={e1,e2}->R^{k-1}=R
[0,1]がモーメントマップの像で、これがパラメータ空間。

Beta分布
Bernoulli分布のパラメータに対する共役分布。
ベータ関数が周期として出てくる。

多項分布
2項分布の拡張として、n-単体で定義される。
Dirichlet分布
多項分布のパラメータに対する共役分布

がある。
これらはすべて指数分布族の範疇に属する。

Toric多様体と指数分布族との関係は、
ON THE TORIC ALGEBRA OF GRAPHICAL MODELShttp://math.berkeley.edu/~bernd/AOS0092.pdf
に記載されているように、
グラフィカルモデルの言葉で記述するのが見易い。

* Graphical model
PRML 8. GRAPHICAL MODELS
http://research.microsoft.com/en-us/um/people/cmbishop/PRML/Bishop-PRML-sample.pdf
確率モデルは、確率変数と確定的変数を用いた式で記述される。
確率変数の確率的要素の基本単位を定めて、
有向グラフと観測の有無の情報により、確率モデルに対する確率分布の性質を記述することを目的として、
有向グラフィカルモデルが定義される。

グラフィカルモデルで抽象化しているのは、
確率モデルにおける確率変数の依存性と、
確率変数の条件付き独立性。

* 確率分布に対する演算
確率変数の依存性に対するベイズの定理を用いることで、
有向グラフの向きを逆にする演算を行うことができる。
(これは、cluster代数におけるmutationの概念の類似と見なしたい。)この場合、指数分布族に対する共役分布のように、
パラメータの範囲が問題になる。
この演算において確率分布を求めるためには、
分配関数を計算する必要が出てくる。
すなわち、[0,1]をサイクルとする周期であるが、
パラメータが複素数であれば解析接続ができる。
この場合、出てきた値に何か意味がつくのだろうか？

また、別の確率分布に対する演算として、
混合がある。

グラフィカルモデルと、事後分布、混合、
の演算を繰り返してできる確率分布は、
グラフの各頂点に事前分布を与えると計算できる。

* 情報量
X:確率変数
に対して、情報量を、
I(X):=-log(p(X))
と置く。
I(X)は0<=p(X)<=1から0<=I(x)<=\infty
が成り立つ。

* total positivity
total positivityは、
モデルが定める多様体の実数値点が情報量を表す、
ということの言いかえとみなせる。

* 1元体
The Witt construction in characteristic one and Quantization
http://arxiv.org/abs/1009.1769v1

一般に、
k:標数pの有限体に対して、Witt環を構成すると、
W(k):標数0の環
となり、K'/k:有限拡大にW(k')/W(k)は商体が不分岐拡大となっている。
p進Hodge理論におけるガロア表現の取り扱いは、
不分岐拡大　p冪巡回拡大 暴分岐拡大
という形でガロア表現を分解し、
対応する周期環(B_{crys},B_{st},B_{dR})を用いて線形な情報に置き換えるのが、
効果的な手法だった。

標数1の有限semi-fieldとして
B={0,1}がある。
R:semi-ringがBを含むと、
和とスカラー倍に適合する部分順序が入る。
Rを商体に埋め込みたいが、そのためには、
multiplicatively cancellativeの条件が必要で、
このとき、冪は単射である。(lem4.3)
Rの例として、max-product代数がある。(logをとると、max-sum代数)
semi-ringから環を作る操作として、Symmetrizationがある。(Prop4.8)

冪が全射の時、perfectである、と定義する。(Def4.4)
これから、Frobenius写像に対応する写像が定義される。
これは正の有理数冪に対して定義されるが、完備化によりそれを実数上に拡張して、
one-parameter automorphism groupとしたい。
(Prop6.5)
ただし、完備化にあたって、p進体におけるpに相当する、
乗法の付値を与える元を一つ固定する必要がある。

標数1のmultiplicatively cancellative perfect semi-ring
に対して、完備化、加法の修正、Symmetrizationの操作により、
Witt環を定義する。
(Prop6.8, Def6.10)
ここで、加法の定義には、Entropyがでてくる。
(Th5.3)

Berkovich空間は、(multiplicative)semi-normを考えることで空間を定義したが、
その類似として、標数1においても、
Witt環上にsemi-normを定義できて、その完備化はBanach代数となる。
(Th6.15)
(ただし、Symmetrizationがあるので、multiplicative normにはならない。)

漸近展開におけるBorel総和法は、p進Hodgeにおける、
A_{crys}の定義に対応する?

* 周期環
- 整数環上のモデルを作り、局所化し、係数体で還元したものの性質を見る
という局所化の手法は広く用いられているが、
無限素点における還元とは何か？
1元体における還元とは何か？
ということが疑問になる。
無限素点として実数がとれる時に、
多様体の実数値集合の性質を見ることと、
Witt環上の性質、係数体での還元、
ということが問題になるが、
The universal thickening of the field of real numbers
http://arxiv.org/abs/1202.4377v1
では、実数体を係数に持つWitt環を構成し、
周期環を定義している。
有界変動関数に対して、長さを用いた逆関数を定義し、
ラプラス変換とWitt環の展開の類似を示している。