GKZ超幾何関数

Log-Linear Models, Toric Varieties, and Their Markov Bases
http://www.math.harvard.edu/~seths/lecture2.pdf

指数分布族がトーリック多様体のモーメント写像の像に対応する。
マルコフ基底と(A,h)の対応がつき、
マルコフ連鎖モンテカルロにより乱数を用いたサンプルを生成する場合の、
遷移グラフとマルコフ基底の代数的操作が対応する。
では、遷移グラフは、トーリック多様体のスペクトル曲線と関係があるか？

トーリック多様体の同変直線束の積が、
多面体のミンコフスキー和で記述できることを、
hyperfieldの観点から解釈できないか？

Thermodynamics and the moment map
http://arxiv.org/abs/1108.3472v1
統計力学の枠組みでGibbs分布に基づく分配関数は指数和。
(1.6)で超幾何分布がでてくる。
(2.1)で複数のハミルトニアンからなる写像で凸多角形をEuclid空間に埋め込むことにより、
指数分布族とトーリック多様体のmoment mapを関連づけている。
逆温度は、指数分布族のパラメータと解釈される。
Prop2.3では、
- エネルギー期待値により、パラメータ空間は状態の凸閉包のなす凸多角形にdiffeoに移る。
- Legendre変換により、分配関数の対数とエントロピーが対応する。
が示されている。
指数分布族の十分統計量、とは単に、凸多角形内のエネルギー期待値のことで、
この場合には情報幾何でいうところのe-座標系とm−座標系の対応になる。


Symplectic Toric Manifolds
http://www.math.ist.utl.pt/~acannas/Books/toric.pdf
Th1.2.2 Delzant polytopeとsymplectic Toric manifoldsは一対一に対応する
1.3.3でgenericなベクトルに対するmoment mapをとって、
Morse functionとしている。

GKZ Hypergeometric Structureshttp://arxiv.org/abs/math/0511351v1
- Aとhによって微分方程式系が定まる
微分方程式系はEuler積分の形から導出される系と
トーラス作用から導出される系の2種類がある。
- Fourier-Γ seriesが定義でき、GKZ微分方程式系を満たす
- Aの生成元でよい性質のものがとれる
Secondary fan
グレブナー基底
Stanley-Reisner ideal
-区分的線形関数
Tropical reductionとみると、fiberは指数和

GKZ超幾何関数は、トーリック多様体の量子化を与えるものと
解釈できる。
secondary fanのmaximal coneを与えると、
Fourier-Γ seriesの無限小変形をすることができる。
これは　GKZ微分方程式の解を与える。

ある可積分系における固有関数の分布関数の漸近挙動
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1364-10.pdf
Distribution laws for integrable eigenfunctions
http://arxiv.org/abs/math/0306189v1