サマースクール復習その3

量子化

量子化は、 
- 粒子を存在確率の与えられた存在とすること 
- 場の量子化 
の2つの段階がある(らしい)。

これを代数的な観点から見ると、 
- 変形量子化 
- operad 
- factorization algebra 
の概念が有用なようだ。

変形

The unbearable lightness of deformation theory 
Deformation Theory. I 
パラメータを持った底空間上の1点に基準となる構造があり、 
そこからの微小なズレを測りたい、という場合が多くある。 
その際の指針となるのが、 Deligneによる、 
標数0の体上の変形理論は何らかのDGLA(differential graded Lie algebra)で制御できる 
というidea(らしい)。 
手順としては、 
1. 双数の環を用いた接空間の計算 
2. 高階の次数の変形の計算 
3. 形式的冪級数への持ち上げ 
4. 収束冪級数での議論 
5. 貼り合わせ 
という段階があり、 
1,2においてはHochschild complexを見ることで、 
変形が次の次数に進むことができるかどうかが判定できる。

変形に対して、標準的な持ち上げが存在し、それを用いて標準的な座標が取れる、 
という場合がある。 
- アーベル多様体の場合のSerre-Tateの定理 
- p-divisible groupの場合のGrothendieck-Messingの定理 
- Virasoro uniformization 
- p-adic Teichm¨uller Theory 
などの例がある。 
変形に対して、このような幾何化が出来る場合、というのは、どういった状況だろうか?

operad

Koszul duality for Operads 
変形理論において、高階の変動を捉えるための計算があったが、 
そこに現れたテンソル積からの写像、という構造を抽象化したものとして、 
operadの概念がある。

木に対する操作として、縮約と結合がある。 
木の圏Treesに対して、linear-operadという、 
Trees→Vectなる関手を定めることができる。 
木の結合とベクトル空間のテンソル積の整合性を要求することで、 
代数の結合性などの条件をlinear-operadの可換図式として表すことができる。 
EV(n)=Hom(V⊗n,V)とendomorphismのoperadを定義することができる。 
Pをlinear operad、Aをベクトル空間とするとき、 
f:P→EAという射を与えて、P代数を定義することができる。 
- 結合的代数 
- 可換代数 
- Lie代数

はいずれも、operadとして解釈できる。(さらに関係式が2次のquadratic operadというものになる。)

ベクトル空間の圏Vectをテンソル積の定義されるsymmetric monoidal categoryとしても、operadが定義される。 
特に、位相空間の圏にCartesian積を入れて、topological operadが定義される。

Grothendieck-Knudson moduliに対応するtopological operadとして、configuration operadがあり、 
reduced treeに対して、stratificationが対応する。

A:P代数に対して、(P,A)上の加群が定義される。

factorization algebra

Factorization algebras in perturbative quantum field theory

同一時空上で異なる観測ができない、ということを抽象化すると、 
factorizationの条件が出てくる。

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