平方完成としての極小モデル
non-unitalなA∞ 代数(A,m) に対して、H(A) 上のA∞ 構造を定めるのは、平行完成の類似である。
具体的には、(A,m1) を直交分解して(H(A),0) と直交成分に分けたい。
Homological mirror symmetry and torus fibrations§6.4 では、
d=m1 と可換な(直交)射影Π:A→B=Π(A) を取り、
ホモトピー写像H：A→A[−1] を1−Π=dH+Hd となるようにとった状況で考えている。
i:B→A,p:A→B,Π=i∘p として、 oriented planar treeに対して、rootにp 、leavesにi 、vetexにmk を置いたものを局所的に変更することで、
B 上のA∞ 構造(B,mB) を定めている。
dH+Hd の部分を表現するために、m^Bn とmBn を用意し、
1−Π の部分を表現するために、mB,Πn とmB,1n を用意し、
1−Π=dH+Hd から関係式m^Bn=dmBn+mBnd−mB,Πn+mB,1n がでる。
一方で、m1mj+∑±mjm1=高次の項 の式とdH+Hd の置き換えから、m^Bn=mB,1n でなければならない。
よって、dmBn+mBnd=mB,Πn となる。
具体的には、
Homological mirror symmetry and torus fibrations
ホモトピー写像
一方で、
よって、
符号を含めた記述は、Noncommutative homotopy algebras associated with open strings§5.3 にある。
Hodge分解
リーマン面上の調和関数の存在は、ディリクレの原理を用いて、L2 の範囲で解を構成した。
調和形式を用いたコンパクトケーラー多様体上のHodge分解もほぼ同様である。
e.g.The Hodge Decomposition
多様体上の楕円型微分作用素 -Hodge theorem
調和形式を用いたコンパクトケーラー多様体上のHodge分解もほぼ同様である。
e.g.The Hodge Decomposition
多様体上の楕円型微分作用素 -Hodge theorem
Feynman-Kacの公式
Feynman-Kacの公式は、拡散方程式の解をBrown運動の期待値を用いて書くもの。
特に調和形式は、Brown運動を用いて解釈できる。
そこで、A∞ 代数$に対して、Brown運動のようなものが存在するかどうかが気になる。
特に調和形式は、Brown運動を用いて解釈できる。
そこで、
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6 件のコメント:
Hi, 超おひさしぶりです。その早稲田の先生の「ノート」は便利でいいですよね。私もいくつか目を通しましたが、いくつかの意味で感心しました。 （勤勉さとか、、、、）
前回の投稿の"Homotopy Probability" って単語、聞いたことある気がするんですが、私が面白がってコメントしたやつですっけ？ それとも、aka氏ご自身が？
>前回の投稿の"Homotopy Probability" って単語、聞いたことある気がするんですが、私が面白がってコメントしたやつですっけ？
はい、そうです。情報有り難うございました。
私としては、A∞代数を非可換幾何として捉え、
A∞構造、すなわち接続と整合性のあるpathの持ち上げ、
として、
rough path
を理解したい、
という動機です。
最初のリンクは匿名さんにとっては全く意味ないリンクですが、
1. Baudoinのrough pathのまとめ
http://www.math.purdue.edu/~fbaudoin/Rough.pdf
2. Notes on A-infinity algebras, A-infinity categories and non-commutative geometry. I
http://arxiv.org/abs/math/0606241v2
の前半
3. Noncommutative geometry and path integrals
http://arxiv.org/abs/math/0612411v1
を合わせて、
非可換幾何のクリスタリンの意味で、確率積分を理解したい、
というものです。
結局、ここ何年も調べていることが変わっていないマンネリですが。
お返しにあなたにも私にも、何の関係もないPDFをリンクします。謎の人物が地震の謎の仕事をサーベイしたもののようです。もっとも、代数の素養のあるあなたにとっては、ひどい謎ではないのかも、、、、
Rough path theory. Combinatorial and physical approaches.
www.iecn.u-nancy.fr/~unterber/book-rough-paths.pdf
RP, Hopf alg., renormalization.
www.emis.de/journals/SLC/wpapers/.../unterberger.pdf
>を合わせて、非可換幾何のクリスタリンの意味で、確率積分を理解したい、というものです。
==
愚鈍なワタスにも感じぐらいはわかるように、もうちょっと詳しく。ここに核のがめんどければ、次回に会話のなかででも。
http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s68vortrag/unterberger.pdf
ですね。
ちょっと眺めてみます。
情報有り難うございました。
renormalizationとの関係については、
COSTELLO’S MATHEMATICAL FORMULATION OF PERTURBATIVE QUANTUM FIELD THEORY.
http://www.math.umass.edu/~mirkovic/0.SEMINARS/1.QFT/C.Costello/Perturbative.QFT.pdf
が参考になるかもしれません。
“quantization by renormalization”
という考え方、これは、量子変形をくりこみを用いて行う、ということだと思うのですが、
CostelloのrenormalizationとConnes-Kreimerの関係はよくわかっていないようです。
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