Deligne-Illusie

metricとFrobenius

[Mzk96]のIntroductionで、 
“Kahler metrics in the complex case correspond to Frobenius actions in the p-adic case.” 
という記述がある。

Riemann面においてPoisson方程式を解く問題は、 
計量を与えると、Green関数が局所的に具体的に記述でき、 
それを用いて解を構成することが出来る。 
[Mzk96]Ch4 Def4.18でadmissible Frobenius liftingをp進Green関数として定義している。 
この定義は直後のRemarkにあるように、 
Bruhat-Tits treeとしてp進上半平面を見た場合と、 
楕円曲線のmoduliの点としての距離がcyclic isogenyで測ることが出来ることに対応した名称。

(Q:計量からブラウン運動が定義され、Poisson方程式の解がその期待値として記述できる。 
そのp進類似として、Frobenius liftingを期待値として表すような概念は存在するだろうか? 
もし存在すれば、(ブラウン運動は直接現れないものの)Riemann面上の共形場理論としての自由fermion場の場合の類似として、 
それを用いて、自由場の量子化に対応するものの記述ができるだろうか?)

(Q:さらに計量とFrobenius作用の対応の類似として、 
トロピカル幾何に縮小する部分とFrobenius作用素で不変な部分が対応する、 
と捉えられるだろうか? )

W2(k)への持ち上げとHodge-de Rham degeneration

複素多様体のHodge理論において、Kahler性からHodge-de Rham degenerationが出るが、 
その証明の一つとして、 
Kahler計量から定まるL2の範囲での調和形式の分解により出す方法がある。 
しかし、計量の代わりにFrobenius作用素を用いて、Hodge-de Rham degenerationを導出する、 
Deligne-Illusieの方法がある。 
([BDLP]のFrobenius and Hodge Degeneration)

そこではFrobenius作用素を用いて、 
formalなcomplexに話を移すことが重要だった。 
そして、標数pが次元より大きい、という仮定から、 
実質的にdivided powerを用いることなく、 
標数0での1-jetからのAtiyah classの構成と同様の構成を行うことが出来た。

Azumaya schemeを用いた言い換え

そこで、formalityをより幾何的な言葉に翻訳できれば嬉しい。 
[ACH13]では、Azumaya spaceを経由して、 
derived intersectionのformalityと1次の無限小持ち上げの同値性を示している。

文献

• ACH13 Derived intersections and the Hodge theorem
• BDLP Introduction to Hodge Theory
• Mzk96 A Theory of Ordinary p-adic Curves

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