準備の論文を眺める その3

monoidとN≥1の半直積

Bost-Connes代数( 
e.g.

• On Bost-Connes type systems for number fields
• Bost-Connes systems, Hecke algebras, and induction
• Cyclotomy and endomotives

) 
においては、特に、有理整数の場合、 
Q/ZとN≥1の半直積 
が用いられていた。 
これは、 
有限アデールへの大域体の乗法群の作用の半直積を乗法側をモノイドに還元したものだった。 
この、有限アデールの部分を、 
{0}におけるLog構造に関する部分を見ている、 
と解釈すると、 
一般のLog構造に現れるmonoidに対して、N≥1との半直積をとる、 
という操作は自然と思える。

monoidのcategorification

通常の代数的な意味でのmonoidMに対して、 
1つの対象のみからなり、射がMからなる圏を構成することが出来る。 
圏の立場から考えることにより、

• 複数の圏と関手を考えることでmonoidに対する条件をつけた定義をすることが出来る
• 自然数における素因数分解のような代数的性質を、射の性質に置き直して考えることが出来る
• 因子の概念をmonoidのPrimeに置き直して、射の分解を考えることが出来る
• 特にmonoidと関係ない圏から、関手を構成することにより、monoidと関係づけることが出来る

といったことがある。 
ただし、実際に圏上のmonoid値の反変関手としてmonoidを捉える際には、 
[FrbI]Def1.1(ⅱ)にあるように、FSM-morphismsに関して条件をつける必要がある。 
(これは、引き戻しに対して自然に振る舞うことを要請する。)

elementary Frobenioid

基本的な非可換monoidとして、 
Z≥0のN≥1による半直積である、 
standard monoid、Fがある。([FrbI]Def1.1(ⅲ))

一般に、D上のmonoidΦが与えられた時、 
対象はDの対象、 
射は、ϕ:A→Bに対して、 
(ϕD,Zϕ,nϕ),ϕD:AD→BD,ZD∈Φ(AD),nϕ∈N≥1 
として、射の合成を、 
(ψDZψ0nψ)(ϕDZϕ0nϕ) 
=(ψDϕDϕ∗DZψ+nψZϕ0nψnϕ) 
として、 
新たなD上のmonoidとして、Ψに付随したelementary Frobenioid 
FΦを定義することが出来る。([FrbI]Def1.1(ⅲ))

すなわち、elementary Frobenioidには、 
- Base category 
- Divisor monoid 
- Frobenius degree 
が付随する。

elementary Frobenioidへの関手としてのpre-Frobenioid

D上の(divisorial) monoid Φからelementary Frobenioid 
FΦが定義されるが、 
いったん情報を忘れた圏からの関手、 
C→FΦ 
をpre-Frobenioidと呼ぶ。([FrbI]Def1.1(Ⅳ)) 
pre-Frobenioidにも、 
- Base category 
- Divisor monoid 
- Frobenius degree 
が付随するが、 
単なる関手なので、行き先のelementary Frobenioidとの差異が大きすぎる場合もある。

射の性質に関する定義([FrbI]Def1.2)

• linear
• isometry
• metrically equivalent
• pull-back morphism
• pre-step = linearかつbase-isomorphism
• step = non-isom pre-step
• primary pre-step = pres-tep かつ Frobenius degreeが素数
• co-angular
• LB-invertible = co-angular かつ isometry
• of Frobenius type = LB-invertible かつ base-isomorphism
• prime Frobenius morphism = of Frobenius type かつ Frobenius degreeが素数

代数関数論における因子の拡張として、Log構造のmonoidの性質を加味して、 
Divisor monoidの因子分解に関する定義、 
Frobenius degreeに関する定義、 
圏上の構造としてのBaseに関する定義、 
がある。 
しかし、Frobenioidの理論においては、 
局所類体論におけるreciprocity lawの類似が定義できることが要請される。(FrbⅡ) 
高次分岐群の情報のarchimedianな素点における類似として、Stokes構造があると思うと、 
複素数におけるreal-blowup、すなわちS1の部分集合の情報を入れる必要があり、 
co-angularという概念が必要になる。

対象の性質に関する定義([FrbI]Def1.2)

• Aut-ample、Autsub-ample、End-ample
• perfect object
• group-like
• Frobenius-ample
• Frobenius-compact
• Frobenius-normalized
• metrically trivial
• unit-trivial
• isotropic = それをdomainとするisometric pre-stepは全てisom
• Frobenius-isotropic

射におけるco-angularという概念が円周の一部分の抽象化であるから、 
円周全体に対応する概念が必要になる。 
それがisotropicで、 
対応して, 
射がisotripic hullという概念も定義される。

対象、射の性質に関する定義([FrbI]Def1.2)

性質	Base	Div	Frobenius
iso	base-iso	-	-
identity	base-identity	Div-identity	-
equivalent	base-equivalent	Div-equivalent	-
trivial	base-trivial	Div-Frobenius-trivial	Frobenius-trivial
			universally Div-Frobenius-trivial
			quasi-Frobenius-trivial
			sub-quasi-Frobenius-trivial
section	base-section	-	Frobenius-section
slim	-	Div-slim	Frobenius-slim

[FrdI]にある表

type of morphism	projection to base	zero divisor	Frobenius degree
linear	?	?	1
isometry	?	0	?
base-isomorphism	isomorphism	?	?
base-FSM-morphism	FSM-morphism	?	?
pull-back morphism	?	0	1
pre-step	isomorphism	?	1
step	isomorphism	!= 0
primary pre-step	isomorphism	primary	1
isometric pre-step	isomorphism	0	1
LB-invertible	?	0	?
morphism of Frobenius type	isomorphism	0	?
prime- Frobenius morphism	isomorphism	0	prime

Frobenioid

pre-Frobenioidの定義だけでは、Cの圏論的性質からbase, Div, Φを復元できない。 
より、制限をつけて、復元できるようにしたものが、Frobenioidになる。([FrbI]Def1.3)

1. Surjectivity to the Base Category via Pull-back Morphisms
2. Surjectivity to N≥1 via Morphisms of Frobenius Type
3. Surjectivity to the Divisor Monoid via Co-angular Morphisms
4. Factorization of Arbitrary Morphisms
5. Factorization of Pre-steps
6. Faithfulness up to Units
7. Isotropic Objects

文献

• 論説 代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想
• Overview Panoramic Overview of Inter-universal Teichmuller Theory
• LocField A Version of the Grothendieck Conjecture for p-adic Local Fields
• AbsTopI Topics in Absolute Anabelian Geometry I
• AbsTopIITopics in Absolute Anabelian Geometry II
• AbsTopIII Topics in Absolute Anabelian Geometry III
• FrbI The Geometry of Frobenioids I
• FrbII The Geometry of Frobenioids II
• EtTh The Etale Theta Function and its Frobenioid-theoretic Manifestations
• pGC The Local Pro-p Anabelian Geometry of Curves
• IUTchI Inter-universal Teichmuller Theory I
• IUTchII Inter-universal Teichmuller Theory II
• IUTchIII Inter-universal Teichmuller Theory III
• Ogus Lectures on Logarithmic Algebraic Geometry

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